Problema de algebra.

Encuentra una funcion  $f$  que va de los racionales a los racionales tal que \[ f(xf(y)) =\frac{f(x)}{y} \]

para toda $x$, $y$ que pertenecen a los racionales.

Solcuion al problema de alonso del 30 de agosto

Un problemilla de algebra

Encuentre los valores de x con x entero que satisfacen que x2−5x−1 es un cuadrado perfecto.

Solucion al problema del 29 de agosto

Viernes 29 Agosto

Let  be the circumcenter of acutangle triangle  and let  be some point in the smallest arc  of the circumcircle of . Let  and  points on sides  and , respectively, such that  and . 

Prove that the line  passes through the orthocenter of .

Solucion al problema del 19 de agosto

Solucion al problema del 24 de agosto

Solucion al problema de miercoles 20

Domingo 24 de Agosto

Sea  un triángulo acutángulo, sean  los pies de las alturas desde , respectivamente. Sea  la intersección de con . Por el punto  trazamos una paralela a  que corta a  y  en  y , respectivamente. Si  es el punto medio de , pruebe que  es un cuadrilátero cíclico.

Miercoles 20 Agosto

Con "$p$" primo positivo y "$a$" un numero positivo distinto de "$p$". Encuentra todas las parejas tales que \[ \frac{a+p}{a^2+p^2}\] se puede reducir hasta ser de la forma $\frac{1}{r}$ con "$r$" entero

Martes 19 Agosto

Sean $C$ y $D$ puntos en un semicírculo. La tangente en $C$ corta a la prolongación del diámetro del semicírculo en $B$, y la tangente en $D$ lo corta en $A$, de tal forma que $A$ y $B$ quedan en lados opuestos del centro del circulo(uno queda del lado derecho y otro queda del lado izquierdo). Las líneas $AC$ y $BD$ se cortan en $E$. Sea $F$ el pie de la perpendicular de $E$ en $AB$.
Demuestra que $EF$ es bisectriz del ángulo $\angle CFD$.

Lunes 18 Agosto

Dos personas juegan alternadamente en un tablero de 5 x 5. El primer jugador siempre coloca un "1" en cualquier cuadrito vacío y el segundo jugador siempre coloca un "0" en cualquier cuadrito vacío. Cuando el tablero esta lleno, las suma de los números de cada uno de los 9 posibles cuadrados de 3 x 3 son calculadas, y el marcador del primer jugador es igual a la mayor de estas 9 sumas. ¿Cuál es el marcador más grande que el primer jugador puede obtener(suponiendo que el segundo jugador trata de minimizar dicho marcador)?

Domingo 17 de Agosto

A falta de problema, ahi les va uno

Encuentra el subconjunto mas grande de {1,2,3,...,14,15} tal que el producto de cualesquiera tres elementos distintos de ese subconjunto no es cuadrado.

Solucion al problema de quique del 15 de agosto

Solucion al problema de alonso del 13 de agosto

Problema del dia. 16 de agosto.Numeros

Sean $a$ y  $b$ enteros `positivos. Muestra que si $4ab-1$ divide a $(4a^2-1)^2$ entonces $a=b$

PROBLEMA DEL DIA

Determine todas las parejas (a,b) de enteros positivos tales que 2a+1 y 2b-1 sean primos relativos y a+b divida a 4ab+1.

Solucion de Alonso

Problema del dia

Se quiere diseñar una competencia entre 7 jugadores de tal manera que de cualquier colección de 3 de ellos al menos dos compitan entre sí. ¿Cuál es el mínimo número de juegos con el que se puede lograr esta condición?

Problema de algebra numeros

Prove that the equation doesn't have solutions in integers.

Problema del dia

In a triangle , points and are chosen in the prolongations beyond of segments and , such that . Define analogously points , , , . If denotes the area of triangle , show that . Solución.