Problema del dia (Ago 31)

Demuestra que si en un triangulo de área $S$ el producto de las longitudes de dos de sus medianas es igual a $\frac{3}{2}S$, entonces dichas medianas son perpendiculares.

Si quieren hacer figuras geometricas en la computadora, les recomiendo utilizar GeoGebra.

Problema del dia (Ago 30)

A partir de este momento se deja de publicar el "Problema del dia para novicios" y ahora pasa a ser solamente "Problema del dia". Estaremos poniendo problemas cada dia, asi como David les dijo despues de la premiación, los preseleccionados estatales deberán mostrar evidencia de que trabajaron en los problemas, ya sea poner la solución completa, poner solo las ideas que resuelven el problema, la forma en que lo estan intentando, dudas acerca de la redaccion, etc. No se fijen en que si alguien ya subió solución del problema o no, ustedes publiquen su solución.

Las soluciones se deben de subir en un comentario, pueden hacerlo en texto normal, en $\LaTeX{}$, a mano y escanearla y poner un link a la imagen, en cualquier documento de office, o cualquier otra forma que se les ocurra.

Y ahora el problema del dia de hoy:
Considera la suma, la diferencia positiva, el producto y el cociente mayor que $1$ de dos enteros positivos distintos. Si al sumar los cuatro resultados obtienes $450$, determina los dos números.

Resultados Examen Estatal 2010

Los siguientes son los ganadores del concurso estatal. Felicidades a tod@s!!!

De La Torre Sáenz Karina Patricia
Astiazarán Tobin Alberto Manuel
Ponce Loya Luis Alonso
Martínez Acosta Irving
Gómez Fierro María Georgina
Medina Muela Samantha
Félix Granados Bryan Adan
Ramírez García David
Gutiérrez Sierra Leonardo Isaac
García Pardo Jesús José
Segovia Guzmán Miguel Omar
Chávez Soledad Eloy Alfredo
Ramírez Luján Jorge Alberto
Escobar Cervantes Erick Eduardo
Flores Ávila Ever Alejandro
Castro Saenz Hugo Valentín
Pérez Ramírez Neil Alejandro
García Ramos Luis Carlos
Sánchez López Luis Rodrigo
Rangel Domínguez Fabián
Hernández Guerrero Diana Sofía
López Martínez María Carolina

Examen Estatal

(Denle click)

Problema del día.

Para novicios:

-Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB=AC$ y sea $I$ su incentro. Si $BC=AB+AI$, determina la medida del ángulo $\angle BAC$.

Para avanzados:

-En un congreso internacional se reúnen $n$ científicos de $6$ países. Durante el congreso los científicos se dividen en cuatro secciones de tal manera que dentro de cualquier grupo de $6$ participantes de la misma sección siempre hay dos científicos de la misma edad. Encuentra el mínimo número $n$ para el cual, bajo las condiciones mencionadas arriba, se puede asegurar que existen tres científicos de una misma sección que tienen la misma edad y pertenecen al mismo país.

Para muy avanzados:

-Determina todos los enteros positivos $a$ y $b$ tales que

$$\frac{b^{2}a}{a+b}$$

sea un número primo.

Saludos.

Foto Reportaje de Karina!

Hey!

Si pueden vean el foto reportaje de Karina (quien tambien participara en el Estatal) en el blog de Gente de la Frontera!
Esta en http://peopleoftheborder.blogspot.com

Saludos a todos.
Nos vemos el proximo sabado en el Estatal!!!! :)

Problema del dia para novicios

Un paralelogramo $ABCD$ y un triangulo $EBC$ tienen la misma base $BC$ y el vértice $E$ está en la recta que contiene a $AD$. Demuestra que el área del paralelogramo es el doble que el área del triangulo

Primer entrenamiento para preparatorias. Cd.Juárez

Chavos de prepa: se les invita a participar en la etapa estatal de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas en Chihuahua, la cual se llevara a cabo el dia sábado 28 de agosto del presente año.

El primer entrenamiento para ustedes, será este viernes, 20 de agosto, en las instalaciones del IIT (edificio G), ubicado en Av. del Charro, enfrente del Lienzo charro "Adolfo López Mateos" en un horario de 2pm a 6pm.

El siguiente entrenamiento será el sábado 21 de agosto, en el mismo instituto. El día viernes les confirmaremos edificio.

El único material necesario será algún cuaderno para hacer anotaciones, pluma o lapiz y de preferencia juego geometrico (compas, regla).

Los esperamos este viernes!!!

Daniel Martínez.

Problemas del dia para novicios

Si creyeron que porque no pusimos problemas en dos dias se escaparon de esos dos dias, pues no es asi jeje.


1. a) Encuentra la mayor potencia de $2$ que divide a $100!$, b) Encuentra la mayor potencia de $2$ que divide a $n!$,

2. Un amigo fue a una fiesta y nos dijo "Fueron $17$ personas y cada una saludó a exactamente $5$ personas". ¿Le crees?

3. Sea $ABCD$ un cuadrilatero cíclico, una circunferencia $\gamma_1$ que pasa por $A$ y $D$ corta a la recta $AB$ en $E$, y otra circunferencia $\gamma_2$ que pasa por $C$ y $D$ corta a la recta $BC$ en $F$. Sea $G$ el segundo punto de intersección de $\gamma_1$ y $\gamma_2$. Muestre que $E$, $F$ y $G$ son colineales.

Problema del día.

Para novicios:

-Demostrar el criterio de divisibilidad del $11$.

Para avanzados (éste me lo encontré, talvez no sea muy útil, pero si está impresionante):

-In $1647$, Mersenne noted that when a number can be written as a sum of two relatively prime squares in two distinct ways, it is composite and can be factored as follows: if $n=a^2 +b^2 =c^2 +d^2$, then
$$n=\frac{(ac+bd)(ac-bd)}{(a+d)(a-d)}$$
Use this result to factor the numbers
$$493=18^2 +13^2 =22^2 +3^2$$
and
$$38,025=168^2 +99^2 =156^2 +117^2$$

Problema del dia para novicios

Se tienen $n+1$ elementos del conjunto $$\{1,2, \dots ,2n \}$$
a) Demostrar que entre esos $n+1$ elementos siempre hay dos consecutivos.
b) Demostrar que hay dos de esos elementos tales que uno divide al otro

Problema del dia

para novicios:
Demostrar que si $p$ es primo y $p^2+2$ es primo, entonces $p^3+2$ es primo

Problema del día

Problema para novicios:

Sea ABC un triangulo. La bisectrices de los angulos en A, B y C intersectan al circuncirculo del triangulo ABC en los puntos K, L, M respectivamente. Demostrar que LM es perpendicular a AK.


Problema para avanzados:

Sea $\gamma$ una circunferencia de centro O y sea A un punto fuera de ella. Las tangentes a $\gamma$ que pasan por A tocan a $\gamma$ en los puntos B y C. Sea D el punto donde intersecta la recta OA con $\gamma$. Sea X el pie de la perpendicular de B hacia DC y llamemos Y al punto al punto medio de XB. La recta DY corta por segunda vez a $\gamma$ en un punto Z. Demostrar que CZ es perpendicular a AZ.

Saludos.
Manuel.

Problema del día.

Problema para novicios:

-Probar que si $a$ y $b$ son enteros impares, entonces $16|a^4+b^4-2$


Problema para avanzados: (no se que tan facil este)

-Sea $t_n$ el $n-esimo$ número triangular $\left(t_{n}=\frac{n(n+1)}{2}\right)$. Encontrar todos los valores de $n$ para los cuales $t_n$ divide a
$$\sum_{i=1}^{n} t_i$$

Problema del dia para novicios

$x,y,z$ son reales positivos, diferentes entre si que cumplen:

$$\frac{y}{x-z}=\frac{x+y}{z}=\frac{x}{y}$$

¿Cuanto vale $$\frac{x}{y}$$ ?

Problema del dia para novicios

Demuestra que las diagonales de un paralelogramo se cortan en sus puntos medios.

Problema del día.

Problema para novicios:

-Demostrar que si $a$ es impar, entonces $32|(a^2 +7)(a^2 +3)$

Problema del día.

Problema para novicios:

-Dada una lista de $0$'s y $1$'s le podemos aplicar la operación siguiente: Se escogen dos números $a$ y $b$ de la lista, se borran y se agrega a la lista el número $0$ si $a=b$, y $1$ si $a$ es distinto de $b$. Se repite esta operación hasta quedarse con un solo número. Determinar cómo debe ser la lista para terminar con un $1$.

Este problema lo encontré asi de volada.. por eso no puse para los chavos avanzados.

Problemas del dia

Como ayer no pusimos problema, ahora pondremos 2 de cada tipo
Novicios:

Demostrar que los puntos medios de los lados de un cuadrilatero cualquiera son los vertices de un paralelogramo.

Determinar todos los primos p para los cuales $p^2+77$ tiene exactamente $5$ divisores.

Avanzado:

Por el baricentro $G$ de un triangulo $ABC$ se traza una recta que corta al lado $AB$ en $P$ y al lado $AC$ en $Q$. Demuestra que
$$\frac{PB}{PA}\cdot \frac{QC}{QA} \leq \frac{1}{4}$$

Probar que para todo numero natural $n$, el número
$$(n^3-n)(5^{8n+4}+3^{4n+2})$$
es multiplo de 3804