Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua: Problema del día.

martes, 10 de agosto de 2010

Problema del día.

Problema para novicios:

-Probar que si

$a$ y

$b$ son enteros impares, entonces

$16|a^4+b^4-2$

Problema para avanzados: (no se que tan facil este)

-Sea

$t_n$ el

$n-esimo$ número triangular

$\left(t_{n}=\frac{n(n+1)}{2}\right)$ . Encontrar todos los valores de

$n$ para los cuales

$t_n$ divide a

$\sum_{i=1}^{n} t_i$

4 comentarios:

Manuel Dosal11 de agosto de 2010, 9:25 p.m.
Para el avanzado veamos que $t_{n}+t_{n+1}=\frac{n(n+1)}{2} + \frac{(n+1)(n+2)}{2}$
$t_{n}+t_{n+1}=\frac{(n+1)(n+n+2)}{2}=\frac{(n+1)(2n+2)}{2}=(n+1)^{2}$
Entonces si nos tomamos por parejas las t's y si $n=2k$ $\rightarrow t_{1}+t_{2}+...+t_{2k}= 2^{2}+4^{2}+...+(2k)^{2}$ Factorizando un 4 $t_{1}+t_{2}+...+t_{2k}= 4(1^{2}+2^{2}+...+k^{2})$ $\rightarrow t_{1}+t_{2}+...+t_{2k}=4(\frac{(k)(k+1)(2k+1)}{6})= \frac{2}{3}(k)(k+1)(2k+1)$
Entonces queremos que $\frac{\frac{2}{3}(k)(k+1)(2k+1)}{\frac{(2k)(2k+1)}{2}}$ sea un entero.
$\rightarrow \frac{2(k)(k+1)(2k+1)}{3k(2k+1)}$ debe ser un entero. $\rightarrow\frac{2(k+1)}{3}$ debe ser entero. Entonces como $(2,3)=1$ $\rightarrow k+1\equiv0\pmod{3}$ Entonces $k\equiv2\pmod{3}$ y entonces $k=3m+2$ para un entero $m$ entonces $n=2k=6m+4$ .
Ahora si n=2k+1, si $t_{2k+1}$ divide a $t_{1}+t_{2}+...+t_{2k+1}$ entonces podemos quitar $t_{2k+1}$ ya que lo divide y ver que $t_{2k+1}$ tiene que dividir a $t_{1}+t_{2}+...+t_{2k}$ $\rightarrow t_{1}+t_{2}+...+t_{2k}=4(\frac{(k)(k+1)(2k+1)}{6})= \frac{2}{3}(k)(k+1)(2k+1)$ . Entonces como $t_{2k+1}=\frac{(2k+1)(2k+2)}{2}$ $\rightarrow \frac{\frac{2}{3}(k)(k+1)(2k+1)}{\frac{(2k+1)(2k+2)}{2}}$ tiene que ser un entero. $\rightarrow \frac{2(k+1)(2k+1)k}{3(2k+1)(k+1)}$ $\rightarrow \frac{2k}{3}$ tiene que ser un entero. Entonces $3$ divide a $k$ y $k=3m$ para un entero $m$ . Entonces $n=2k+1=6m+1$ .
Entonces las $n$ que cumplen son de la forma $6m+4$ y $6m+1$ para un entero no negativo $m$ . FIN.
ResponderBorrar
Respuestas
IwakuraIsa11 de agosto de 2010, 9:27 p.m.
Voy a resolver el de
$\sum_{i=1}^{n} t_i$

Consideremos dos elementos consecutivos de la suma
es decir $t_i+t_{i+1}=\frac{i(i+1)}{2}+\frac{(i+1)(i+2)}{2}$
Entonces tenemos que: $\frac{i(i+1)}{2}+\frac{(i+1)(i+2)}{2}=\frac{(i+1)(2i+2)}{2}=(i+1)^2$

Entonces podemos tomar las $t_i$ s por parejas y entonces tenemos dos casos:
Si n es par...
entonces tenemos que $\sum_{i=1}^{n} t_i= 2^2+4^2+6^2+\dots +n^2 = 4(1^2+2^2+\dots +(\frac{n}{2})^2)=\frac{n(n+2)(n+1)}{6}$

Como $t_n$ divide a eso entonces:
$\frac{n(n+2)(n+1)}{6}=\frac{n(n+1)}{2}k$
Por lo tanto $k=\frac{n+2}{3}$ y eso es entero solo cuando $n\equiv 1 \pmod{3}$

Caso n impar
$\sum_{i=1}^{n} t_i= 2^2+4^2+6^2+\dots +(n-1)^2 + \frac{n(n+1)}{2}= \frac{n(n-1)(n+1)}{6}+ \frac{n(n+1)}{2}$

Como $t_n|t_n$ entonces $t_n|\frac{n(n-1)(n+1)}{6}$ por lo que tenemos que:
$\frac{n(n-1)(n+1)}{6}=\frac{n(n+1)}{2}k$ de aqui tenemos que $k=\frac{n-1}{3}$ lo cual solo es entero si $n\equiv 1 \pmod{3}$

Concluyendo de ambos casos tenemos que toda $n$ de forma $3k+1$ cumple
ResponderBorrar
Respuestas
IwakuraIsa11 de agosto de 2010, 9:34 p.m.
toda $n$ natural**
ResponderBorrar
Respuestas
el colado14 de agosto de 2010, 12:03 a.m.
pues yo lo hice con combinaciones.. si resulto estar facil:

nos damos cuenta de que $t_{n}=\binom{n+1}{2}$ para asi cambiar el problema a encontrar toda $n$ natural que cumpla que
$t_n divida a \binom{2}{2}+\binom{3}{2}+\binom{4}{2}+...+\binom{n+1}{2}$
Aparte sabemos una formulita para calcular eso ultimo, con $0\geq m\geq n$ :
$\binom{m}{m}+\binom{m+1}{m}+...+\binom{n}{m} = \binom{n+1}{m+1}$
Aplicando lo anterior a lo que queremos encontrar, trataremos de encontrar $n$ tal que $t_n$ divida a $\binom{n+2}{3}=\frac{(n+2)(n+1)(n)}{3\cdot 2}$

De ahi que $\frac{(n+2)(n+1)(n)}{3\cdot 2}=k\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)$ para algun entero $k$ .
Luego de cancelar términos semejantes, tenemos que $\frac{n+2}{3}=k$ por lo que $n=3k-2$ o lo que es lo mismo, cumple toda $n\equiv -2\equiv 1 \pmod{3}$ .

Saludos.
ResponderBorrar
Respuestas

Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua

martes, 10 de agosto de 2010

Problema del día.

4 comentarios:

SC

Google Analytics