Solución por Intervalos del Problema 3

Es facil ver que si $a_1=1$ entonces $a_1=a_2=a_3=\cdots = 1$ y que si $a_1=-1$ entonces $a_1=a_2=a_3=\cdots = -1$

Supongamos que $|a_1| \textgreater 1$, entonces $a_1^2\textgreater 1$, por lo que $a_2=a_1^2+a_1-1\textgreater a_1$.

Ahora supongamos que $|a_1|\textless 1$, entonces $a_1^2\textless 1$, por lo que $a_2=a_1^2+a_1-1\textless a_1$.

De esto concluimos que si $|a_k| \textgreater 1$ entonces $a_{k+1}$ crece, y que si $|a_k| \textless 1$, entonces $a_{k+1}$ decrece.

Supongamos SPDG que $a_1 \textgreater 1$, entonces $a_2\textgreater a_1\textgreater 1$, y de manera inductiva tenemos que
\[ a_1 \textgreater a_n \textgreater \cdots \textgreater a_2 \textgreater a_1 \textgreater 1\]
Dado que $a_1 \textgreater a_1$, obtenemos una contradicción. Por lo que no existe $a_1 \textgreater 1 $

Es conocido que el mínimo de una ecuación cuadrática se da cuando $x=-\frac{b}{2a}$ así que el mínimo de $f(x)=x^2+x-1$ se da cuando $x=-\frac{1}{2}$ y tenemos que el minimo de $f(x)$ es $-\frac{5}{4}$. Por lo que cualquier para cualquier $i$ tenemos que $a_i \geq -\frac{5}{4} $.

Supongamos que todas las $a_i$ estan entre $-1$ y $1$, pero entonces tendriamos que $a_1 \textgreater a_2 \textgreater \cdots \textgreater a_n \textgreater a_1$ lo cual es una contradicción, por lo que existe una $a_i$ fuera de este intervalo. La cual tiene que estar en el intervalo $[-5/4,-1)$, llamemos a ese intervalo $I$.

Ahora voy a demostrar que si $a_i$ esta en el intervalo $I$, entonces $a_i^2+a_i-1<0$. Resolviendo la última desigualdad cuadrática, tenemos que es cierto para $-\frac{1+\sqrt{5}}{2} \textless a_i \textless \frac{\sqrt{5} -1}{2}$. Como tenemos que $-\frac{1+\sqrt{5}}{2} \textless -\frac{5}{4} \textless a_i \textless -1 \textless \frac{\sqrt{5} -1}{2}$. Entonces se cumple la desigualdad para una $a_i$ en ese intervalo. Como $a_i\textless -1$ entonces tanto $a_i$ como $a_i+1$ son negativos por lo que $a_i(a_i+1)$ es positivo. Por lo tanto tambien se cumple que $(a_i^2+a_i-1)a_i(a_i+1)<0$. De lo cual se obtiene que $a_i^4+2a_i^3-a_i-1<-1$, y eso es lo mismo que \[a_{i+2}<-1\] Como $a_i \textless -1$ entonces $a_i^2-1>0$. Multiplico de ambos lados por $(a_i+1)^2$ para obtener que $0\textless (a_i^2-1)(a_i+1)^2$. Lo cual es equivalente a \[a_i\textless a_i^4+2a_i^3-a_i-1=a_{i+2}\].

Por lo tanto obtenemos que \[-\frac{5}{4} \leq a_i \textless a_{i+2} \textless -1\]

Por lo anterior tenemos que si existe un $a_i$ en el intervalo $I$ entonces $a_{i+2}$ tambien esta en el intervalo $I$ y ademas $a_{i+2}$ crece.

Supongamos SPDG que $a_1$ es el $a_i$ que garantizamos que esta en $I$ entonces si $n$ es impar tenemos que
\[-\frac{5}{4} \leq a_1 \textless a_3 \textless a_5 \textless \cdots \textless a_n \textless a_2 \textless \cdots \textless a_{n-1} \textless a_1 \textless -1\]

Lo cual es una contradicción.

Si $n$ es par.
\[-\frac{5}{4} \leq a_1 \textless a_3 \textless a_5 \textless \cdots \textless a_{n-1} \textless a_1 \textless -1\]

De nuevo una contradicción.

Por lo tanto las soluciones que dijimos al principio son las únicas.

Problema del día, Teoría de números (31 de Octubre)

Encontrar las soluciones enteras de:

a) $x^2+xy+y^2=x^2y^2$

b)$w^2+x^2+y^2+z^2=2wxyz$

Problema del día, geometría (27 de Octubre).

Las longitudes de un hexagono $ABCDEF$ satisfacen $AB=BC$, $CD=DE$ y $EF=FA$. Muestre que
$\frac{BC}{BE}+\frac{DE}{DA}+\frac{FA}{FC}\geq\frac{3}{2}$

Problema del día, Algebra (26 de Octubre)

Una disculpa, no me había fijado que Daniel no subió problema, así que lo subiré yo.


Encuentra el valor mínimo de $x^2+y^2+z^2$ donde $x,y,z$ son números reales (todos los reales) tales que 

\[x^3+y^3+z^3-3xyz=1\]

Problema del dia (combinatoria) 25/10/11

Se tiene un tablero de n x n pintado como tablero de ajedrez. Está permitido efectuar la siguiente operación en el tablero: Escoger un rectángulo en la cuadrícula tal que las longitudes de sus lados sean ambas pares o ambas impares, pero que no sean las dos iguales a 1 al mismo tiempo, e invertir los colores de los cuadritos de ese rectángulo (es decir, los cuadritos del rectángulo que eran negros se convierten en blancos y los que eran blancos, se convierten en negros).
Encuentra para que n's es posible lograr que todos los cuadritos queden de un mismo color después de haber efectuado la operación el número de veces que sea necesario.

Problema del día, Teoría de números (24 de Octubre)

Encontrar todos los cuadrados que tienen solamente 2 dígitos que no son 0, uno de ellos 3

Selección Chihuahua 2011!!

CHIH 1 : Alberto Manuel Astiazarán Tobín (ITESM, Cd. Juárez) - 5to de Prepa

CHIH 2 : Alberto Javier Ponce González (Prepa Central, Cd. Juárez) - 5to de Prepa

CHIH 3 : Luis Enrique Chacón Ochoa (Prepa 20-30, Delicias) - 1ro de Prepa

CHIH 4 : Jesús José García Pardo (COBACH #3, Chihuahua) - 5to de Prepa

CHIH 5 : Omar Alejandro Padilla Cordova (CBTIS #117, Cuauhtémoc) - 3ro de Prepa

CHIH 6 : Luis Carlos García Ramos (ESBIN, Chihuahua) - 3ro de secundaria


Suplente: Antonio López Guzmán (Leyes de Reforma, Delicias) - 2do de Secundaria

Por favor todos esten pendientes del blog con las instrucciones de cuales son los pasos a seguir.

Trabajo en el Blog - Previo al Selectivo

Tabla de trabajo en el blog (click aqui)

Bien, ya no queda más que echarle muchas ganas al selectivo. Lo que se hizo, se hizo, ya fueron muchas llamadas de atención a quienes no trabajaron, y los que si estuvieron trabajando pues, una felicitación. Todo el trabajo previó contará de alguna manera, así como la primera serie de selectivos, obviamente esto además de los últimos selectivos. Recuerden que nada esta escrito aun, ha habido gente que en los últimos selectivos se ha ido para arriba, o se ha ido para abajo.
Les deseo éxito a todos, pero lamentablemente el éxito solamente se lo llevarán 6 personas.

Problema del día, Algebra (12 de Octubre)

Sean $x,y,z$ reales positivos tales que $x+y+z=3$. Si \[ S=\sqrt{2x+3}+\sqrt{2y+3}+\sqrt{2z+3} \]
Pruebe que
\[6 \textless S \leq 3\sqrt{5} \]

Trabajo en el Blog - Semana 6

El trabajo en el blog se publicará mañana miercoles, y los resultados hasta mañana son los que se tomarán en cuenta para el selectivo. Con la tablita pasada se pueden dar cuenta que les falta. Si les interesa recuerden que sus C's las pueden cambiar a caritas felices y sus I's a N's.

Problema del dia (combinatoria) 11/09/11

Sobre los cuadrados de una cuadricula de 4*4 se colocan simbolos 0's y 1's; estos simbolos se cambian, uno por el otro, de acuerdo a las siguientes operaciones. La operacion (A) cambia todos los simbolos de un renglon, la operacion (B) cambia todos los simbolos de una columna, La operacion (C) cambia todos los simbolos de una diagonal (Cualquiera de las 14). Determine cuales son los arreglos de los que se puede partir para que con un numero finito de operaciones se pueda llegar a un arreglo de puros simbolos 0's.

Problema del día, Teoría de números (10 de Octubre)

Ya que Karina y Daniel andan de viaje yo pondré los problemas de hoy y del miercoles.

Demuestra que $(n-1)^2$ divide a $n^{n-1}-1$ para todo entero $n$ con $n \geq 2$

Problema del día, geometría (06 de Octubre).

En el triangulo $ABC$ se tiene que $\angle ABC = \angle ACB = 80^o$. Sea $P$ un punto en el segmento $AB$ tal que $\angle BPC = 30^o$. Demuestra que $AP = BC$.

Problema del dia. Algebra. (5 de Octubre)

Sean $x,y,z$ números reales mayores que $1$ que satisfacen $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$.

Demostrar

$\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1}$.

problema de combinatoria (04/10/11)

En una cuadricula de 32*32 se escriben los numeros del 1 al 1024 de izquierda a derecha, con los numeros del 1 al 32 en el primer renglon, los del 33 al 64 en el segundo, etc.

la cuadricula se divide en cuatro cuadriculas de 16*16 que se recorren entre ellas en el sentido de las manecillas del reloj.

despues cada cuadricula de 16*16 se divide en 4 cuadriculas de 8*8 que se cambian de lugar del mismo modo, a su vez cada una de esas se divide y asi sucesivamente hasta llegar a cuadriculas de 2*2 que se dividen en cuadros de 1*1, los cuales cambian de lugar del mismo modo.

al terminar estas operaciones, que numeros quedan en la diagonal que va de la esquina superior izquierda a la inferior derecha en la cuadricula de 32*32?

Trabajo en el Blog - Semana 5

Ya la tabla ya está tan grande que ya no cabe, así que les dejo este link con la tabla en excel (denle click)
Tablita Trabajo en el Blog

He notado que el trabajo de algunos ha disminuido después del primer corte. Principalmente los amarillos son los que caen en este caso. Esto no debe ser así, no porque te vaya bien en la etapa $n$, quiere decir que te va ir bien en la etapa $n+1$. Ustedes ya han visto casos de gente que se fue abajo.

Creo que la tabla con colorsitos es clara señal de lo que está pasando. Los de rojo tienen aproximadamente $12$ problemas sin siquiera intentarlos, dado a que son en casi todas las semanas $4$ problemas, quiere decir que durante aproximadamente $3$ semanas no han hecho absolutamente nada de trabajo. Esto es casi un mes.

Para los verdes una felicitación, sigan trabajando duro, verán que su esfuerzo se reflejará en su desempeño para la segunda serie de selectivos.

El trabajo en el blog ya influyó en el primer corte, y lo más probable es que lo haga en determinar a la selección Chihuahua 2011.

También no abandonen los problemas anteriores, no porque ya tuvieron su "C" quiere decir que ya no le van a hacer caso al problema. Se supone que la mecánica de la ":)" es para que ustedes sepan que cosas ya resolvieron y las cosas que les faltan por completar. Tambien por eso nosotros entrenadores revisamos todos y cada uno de sus comentarios, para que sepan en que estan fallando y en que estan acertando. Cada problema debe ser una lección a la cual le deben sacar el mayor provecho posible.

El nacional está a la vuelta de esquina, poco mas de un mes solamente.

Problema del día Teoría de Números (03 de Octubre))

Por demostrar que las expresiones $2x+3y$ y $9x+5y$ son divisibles por 17 para el mismo conjunto de valores x,y

Trabajo en el Blog - Semana 5

Más al rato subiré los resultados hasta la semana 5

Problema del día, geometría (29 de Septiembre).

Considera el triangulo $ABC$ con circuncentro $O$. Sea $D$ la interseccion de la bisectriz del angulo $A$ con $BC$. Demuestra que $OA$, la mediatriz de $AD$ y la perpendicular a $BC$ que pasa por $D$ son concurrentes.

Suerte en este problema y Echenle ganas! recuerden lo que les dijo Isai, faltan 45 días para el nacional!, ya es muy poco tiempo y a estas alturas deben de estar poniendo todo su esfuerzo.
Saludos
Manuel.

Problema del dia. Algebra.

Uno fácil:

Sea $\frac{x}{y}$ una fraccion que satisface $\frac{41}{2010}<\frac{x}{y}<\frac{1}{49}$, con $x,y$ números naturales. Encuentre la fracción que tiene menor denominador.

problema del dia (combinatoria) 27/09/11

Una ficha de domino tiene 2 numeros (no necesariamente diferentes), entre 0 y 6. Las fichas se pueden voltear, es decir (4-5) es la misma que (5-4). Se quiere formar una hilera de fichas de domino distintas de manera que en cada momento de la construccion de la hilera, la suma de todos los numeros de las fichas puestas hasta ese momento sea impar. Las fichas se pueden agregar de la manera usual a ambos extremos de la hilera, de manera que en cualesquiera 2 fichas consecutivas aparezca el mismo numero en los extremos que se juntan. Por ejemplo, se podria hacer la hilera (1-3)(3-4)(4-4), en la que se coloco primero la ficha del centro y luego la de la izquierda. Despues de poner la primera ficha, la suma de tdos los numeros es 7, despues de poner la segunda es 11, despues de la tercera 19.

Cual es la mayor cantidad de fichas que puede haber en una hilera?

Cuantas hileras de esa longitud maxima se pueden construir?

Problema del día, Teoría de números (26 de Septiembre)

Sea p un primo, demostrar que $(p-1)!+1$ es potencia de $p$ si y solo si $p=2$, $p=3$ o $p=5$

Trabajo en el Blog - Semana 3 y 4

Nombre

Apellidos

24

25

29

30

31

1

5

6

7

8

12

13

14

15

21

22

Alberto

Astiazaran Tobin

:)

:)

:)

:)

:)

N(*)

:)

:)

*

:)

:)

:)

:)

:)

C

:)

Luis Enrique

Chacón Ochoa

:)

:)

:)

:)

:)

C

:)

:)

:)

:)

:)

:)

:)

I

I

:)

Jesús José

García Pardo

:)

:)

:)

:)

:)

C

:)

C

C

:)

C

:)

I

I

C

I

Luis Carlos

García Ramos

:)

C

C

C

I

I

C

C

I

I

I

I

I

I

I

I

Omar Alejandro

Padilla Cordova

:)

:)

C

C

:)

C

C

C

:)

C

C

C

N

I

C

C

Alberto Javier

Ponce Gonzalez

:)

C

I

C

I

C

C

I

I

I

C

:)

I

I

I

I

Antonio

López Guzmán

:)

C

C

C

:)

I

C

C

C

C

C

:)

C

I

C

:)

Martín

Contreras Carrera

:)

C

C

C

N

N

C

C

C

C

C

C

I

I

I

I

Uriel Alejandro

Reyes Luevano

:)

:)

C

:)

C

C

:)

C

C

C

C

:)

I

I

C

I

La tabla no se ve completa:
Tabla versión excel (Click Aqui)

En las semanas 3 y 4 fui flexible con los tiempos debido a que se atravesó el selectivo en medio, pero, a partir de esta semana se restaura el límite de tres días para la C. Aun entre los seleccionados del primer corte hay gente que no trabaja como debiera. A todos les recuerdo que el blog sigue contando.
Algo curioso es que con el primer corte desaparecieron la mayoría de las I's en la tabla, esto refleja como la falta de trabajo realmente afecta el desempeño en los examenes.
A los que estan trabajando bien, sigan trabajando, y trabajen mas. El nacional se ve lejano, pero solamente faltan menos de dos meses, los cuales se van muy rápido.