Son ejercicios y problemas de parte entera (no sé si sirva mucho para el nacional...). Lo saqué de un archivo de Leonardo Martínez:
"En problemas de olimpiada frecuentemente se encuentran las funciones
⌊x⌋ y
⌈x⌉. La primera representa al mayor entero menor o igual a
x y la segunda al menor entero mayor o igual que
x. Las siguientes sugerencias a veces resultan útiles para tratar a los problemas que involucran a estas funciones.
- Utilizar la desigualdad x−1<⌊x⌋≤x≤⌈x⌉<x+1.
- Para mostrar ⌊x⌋=n, es su ciente y necesario que n≤x<n+1.
- Para mostrar ⌈x⌉=n, es su ciente y necesario que n−1<x≤n.
- Si n y k son enteros positivos y con el algoritmo de la divisi on de Euclides n=kq+r, entonces ⌊nk⌋=q
- Dividir en casos seg un en qué momentos ⌊x⌋ y ⌈x⌉ dan brincos.
- Considerar la parte fraccionaria de x: x=x−⌊x⌋. Siempre se tiene x∈[0;1).
- Perturbar ligeramente a x de modo que ⌊x⌋≈⌊x+ϵ⌋, pero que ⌊x+ϵ⌋ sea m as manejable algebr aicamente.
Ejercicios:
1. Muestra que
⌊x⌋ y
⌈x⌉ son funciones crecientes, es decir, que si
x≥y, entonces
⌊x⌋≥⌊y⌋ y
⌈x⌉≥⌈y⌉
2. Muestra que el residuo que deja un entero positivo
n al dividirse entre un entero positivo
k es
n−k⌊nk⌋.
3. Demuestra que para cualesquiera dos n umeros reales
x y
y se cumple que
⌊x⌋+⌊y⌋≤⌊x+y⌋.
4. Muestra que
⌊−x⌋=−⌊x⌋−1 si
x no es entero y
⌊−x⌋=−x si
x es entero. Enuncia y muestra identidades similares para
⌈−x⌉.
5. Supongamos que
⌊x⌋+⌈x⌉=2x. Muestra que
x es entero o la mitad de un entero.
6. Sean
k y
n enteros con
n entre
k2 y
k2+2k. ¿Cu al es el valor de
√n?
7. ¿Cómo se comportan
⌊1x⌋ y
⌈1x⌉?
8. Muestra que para un real
x y un entero positivo
n se tiene que
⌊⌊x⌋n⌋=⌊xn⌋.
9. Encuentra el valor de las siguientes sumas:
- ∑100j=0⌊j10⌋
- ∑100j=0⌊√j⌋
- ∑100j=0⌊j10⌋+⌈j10⌉
10. Sean
a<b y
n enteros positivos que no tienen divisores en com ún salvo el
1. Muestra que entre
1 y
n hay
⌊na⌋+⌊nb⌋−⌊nab⌋ m últiplos de
a o de
b."
Problemas:
1. Sea
n un entero positivo. Muestra que
⌊√n+√n+1⌋=⌊√4n+1⌋=⌊√4n+2⌋=⌊√4n+3⌋
2. Sea
S(j) la suma de los divisores de
j. Muestra que
S(1)+S(2)+...+S(n)=1⌊n1⌋+2⌊n2⌋+...+n⌊nn⌋
3. Encontrar el residuo de dividir
⌊(2+√3)20⌋ entre 3.