Problemas del día. (10 de noviembre)

1. Sean $m,n$ enteros positivos con $n\leq m$. Demostrar que
$$2^n n!\leq \frac{(m+n)!}{(m-n)!}\leq (m^2+m)^n$$ .

2. Si $a,b,c$ son las longitudes de los lados de un triángulo, mostrar que
$$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3+3abc}{2}}\geq max \{a,b,c\}$$

3. El Consejo Nacional del Matrimonio desea invitar a $n$ parejas (hombre y mujer) a formar $17$ grupos de discusión bajo las siguientes condiciones:
   i) Todos los miembros de un grupo deben ser del mismo sexo,
   ii) La diferencia del tamaño de cualesquiera dos grupos es $0$ o $1$,
   iii) Todos los grupos tienen al menos un miembro,
   iv) Cada persona debe pertenecer a uno y sólo un grupo.
Encontrar todos los valores de $n$, $n\leq 1996$, para los que esto es posible.

Problemas del día. (3 de noviembre)

1. Alrededor de un círculo se colocan 5 unos y 4 ceros en cualquier orden. Luego, entre cualesquiera dos dígitos consecutivos iguales se coloca un cero y entre cualesquiera dos dígitos consecutivos diferentes se coloca un uno, y después se borran los dígitos originales. ¿Es posible llegar a tener 9 ceros repitiendo el proceso?

2. Un pirata tiene 2009 cofres cerrados y cada uno contiene alguna cantidad de oro y alguna cantidad de plata. Él quiere al menos la mitad del oro y al menos la mitad de la plata. Dice un número k y se abren todos los cofres. Luego escoge k cofres. ¿Cuál es el menor valor de k que puede decir para asegurarlo?

3. Un tipo está tirando canastas. La primera acierta, la segunda falla. De la tercera en adelante, la probabilidad de que acierte es igual a sus aciertos entre el total de intentos anteriores. Encuentra la probabilidad de que acierte 50 de 100 tiros.

Problemas del día. (27 de octubre)

Son ejercicios y problemas de parte entera (no sé si sirva mucho para el nacional...). Lo saqué de un archivo de Leonardo Martínez:

"En problemas de olimpiada frecuentemente se encuentran las funciones $\lfloor x \rfloor$ y $\lceil x \rceil$. La primera representa al mayor entero menor o igual a $x$ y la segunda al menor entero mayor o igual que $x$. Las siguientes sugerencias a veces resultan útiles para tratar a los problemas que involucran a estas funciones.

• Utilizar la desigualdad $x -1 <  \lfloor x \rfloor\leq  x \leq \lceil x \rceil < x + 1$.
• Para mostrar $\lfloor x \rfloor=n$, es su ciente y necesario que $n \leq x < n + 1$.
• Para mostrar $\lceil x \rceil=n$, es su ciente y necesario que $n - 1 < x \leq n$.
• Si $n$ y $k$ son enteros positivos y con el algoritmo de la divisi on de Euclides $n = kq+r$, entonces $\lfloor  \frac {n}{k}  \rfloor=q$
• Dividir en casos seg un en qué momentos $\lfloor x \rfloor$ y $\lceil x \rceil$ dan brincos.
• Considerar la parte fraccionaria de $x$: ${x} = x - \lfloor x \rfloor$. Siempre se tiene ${x}\in [0; 1)$.
• Perturbar ligeramente a $x$ de modo que $\lfloor x \rfloor\approx \lfloor x+\epsilon \rfloor$, pero que $\lfloor x+\epsilon \rfloor$ sea m as manejable algebr aicamente.

Ejercicios:
1. Muestra que $\lfloor x\rfloor$ y $\lceil x\rceil$ son funciones crecientes, es decir, que si $x\geq y$, entonces $\lfloor x\rfloor \geq \lfloor y\rfloor$ y $\lceil x\rceil \geq \lceil y\rceil$
2. Muestra que el residuo que deja un entero positivo $n$ al dividirse entre un entero positivo $k$ es $n-k\lfloor \frac{n}{k} \rfloor$.
3. Demuestra que para cualesquiera dos n umeros reales $x$ y $y$ se cumple que $\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor\leq\lfloor x+y\rfloor$.
4. Muestra que $\lfloor -x\rfloor= -\lfloor x\rfloor -1$ si $x$ no es entero y $\lfloor -x\rfloor=-x$ si $x$ es entero. Enuncia y muestra identidades similares para $\lceil -x\rceil$.
5. Supongamos que $\lfloor x\rfloor + \lceil x\rceil = 2x$. Muestra que $x$ es entero o la mitad de un entero.
6. Sean $k$ y $n$ enteros con $n$ entre $k^2$ y $k^2 + 2k$. ¿Cu al es el valor de $\sqrt{n}$?
7. ¿Cómo se comportan $\lfloor \frac{1}{x}\rfloor$ y $\lceil \frac{1}{x}\rceil$?
8. Muestra que para un real $x$ y un entero positivo $n$ se tiene que $\lfloor \frac{\lfloor x\rfloor}{n}\rfloor=\lfloor \frac{x}{n}\rfloor$.
9. Encuentra el valor de las siguientes sumas:

• $\sum_{j=0}^{100}\lfloor \frac{j}{10}\rfloor$
• $\sum_{j=0}^{100} \lfloor \sqrt{j}\rfloor$
• $\sum_{j=0}^{100}\lfloor \frac{j}{10}\rfloor+\lceil \frac{j}{10} \rceil$

10. Sean $a < b$ y $n$ enteros positivos que no tienen divisores en com ún salvo el $1$. Muestra que entre $1$ y $n$ hay $\lfloor \frac{n}{a}\rfloor+\lfloor \frac{n}{b}\rfloor-\lfloor \frac{n}{ab}\rfloor$ m últiplos de $a$ o de $b$."

Problemas:
1. Sea $n$ un entero positivo. Muestra que
$$\lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \rfloor = \lfloor \sqrt{4n+1} \rfloor = \lfloor \sqrt{4n+2} \rfloor = \lfloor \sqrt{4n+3} \rfloor$$
2. Sea $S(j)$ la suma de los divisores de $j$. Muestra que
$$S(1)+S(2)+...+S(n)=1\lfloor \frac{n}{1}\rfloor+2\lfloor \frac{n}{2}\rfloor+...+n\lfloor \frac{n}{n}\rfloor$$
3. Encontrar el residuo de dividir $\lfloor (2+\sqrt{3})^{20}\rfloor$ entre 3.

Problemas del día (21 de Octubre)

Perdón por la tardanza... aquí van los problemas:

1.- Decimos que un número natural $n$ es "charrua" sí satisface simultáneamente las siguientes condiciones:
I) Cada dígito de $n$ es mayor a $1$
II) Para cada 4 dígitos de $n$ su producto es un divisor de $n$
Demuestra que para cada número natural $k$ existe un número "charrua" con más de $k$ dígitos.

2.- El incírculo del triángulo $\triangle{ABC}$ tiene centro en $O$ y es tangente a los lados $BC,AC,AB$ en los puntos $X,Y,Z$, respectivamente. Las líneas $BO$ y $CO$ intersectan la línea $YZ$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente.
Demuestra que sí $XP=XQ$ entonces $\triangle{ABC}$ es isósceles.

Problemas del día. (20 de octubre)

1. Calcular $S= \sum_{i=0}^{101} \frac{x_i^3}{1-3x_i+3x_i^2}$ para $x_i=\frac{i}{101}$

2. Hay $2^n$ soldados en una fila, en donde $n$ es un entero positivo. Los soldados se reacomodan en otra fila de la siguiente manera: Los soldados que estén en posición impar se van al frente de la fila, conservando su lugar entre ellos; los soldados en posición impar se van al final de la fila, respetando los lugares entre ellos. Por ejemplo, si hay ocho soldados formados formados $a,b,c,d,e,f,g,h$, después del reacomodo obtenemos la fila $a,c,e,g,b,d,f,h$. Demuestra que después de $n$ reacomodos los soldados estarán formados como al inicio.

Problemas del dia
1-Usando solamente regla encuentre los puntos medios de dos segmentos paralelos dados.

2- Sean  $a,b,c$  numeros Reales positivos tales que $abc=8$ muestre que 

$\frac{a-2){a+1}+\frac{b-2}{b+1}+\frac{c-2}{c+1}\leq{0}$  
b
3- Sea $ABC$ un triangulo acutangulo tal que $K$ es un punto sobre el arco $BC$ de su circuncirculo y $L$ es el punto de la interseccion de las cuerdas $AK$ y $BC$. Sean $M$ y $N$ puntos sobre los lados $AB$ y $AC$ respectivamente de manera que $LM$ es perpendicular a $AB$ y $LN$ es perpendicular a $AC$. Demuestra que si el area del triangulo $ABC$ es igual al area del cuadrilatero $AMNK$ entonces $AK$ biseca al angulo en $A$ o $AK$ es diametro del crcuncirculo del triangulo $ABC$

Problema del dia

En la pizarra está escrito el número 2. Macaría y Polino juegan alternadamente, comenzando por Macaria. Cada uno en su turno sustituye el número escrito por el que se obtiene de aplicar exactamente una de las siguiente operaciones: multiplicarlo por 2 o multiplicarlo por 3 o sumarle 1. El primero que obtenga un resultado mayor o igual a 2011 gana. Decidir quién tiene una estrategia ganadora y describirla.

Encontrar todos los números primos p para los cuales el número p2+11 tiene exactamente 6 divisores positivos (el 1 y el número incluidos).

Sorry se me olvido que me tocaba los jueves orita subo uno nomas lo eligo

Problemas del día (14 de Octubre)

1. Sean $a,b,c$ números positivos que satisfacen $abc=1$, muestre que:
$\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}\leq{1}$

Una de las soluciones de este problema tiene una idea alternativa para el problema de desigualdades del 7 de Octubre

2. Considera la secuencia $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ definida por: $a_{1}=1, a_{2k}=1+a_{k}$, y $a_{2k+1}=\frac{1}{a_{2k}}$ para $k\geq{1}$. Demuestra que todo número racional positivo aparece en la secuencia $\{a_n\}$ exactamente una vez.

Problemas del día. (13 de octubre)

1. Considera la secuencia $a_1,a_2,...$ definida por
$$a_n=2^n+3^n+6^n-1$$
Determina todos los enteros positivos que son primos relativos a cada término de la secuencia.

2. Sean $x,y,z$ reales positivos, cuya suma es $2013$. Determina el máximo valor de
$$\frac{(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)}{x^4+y^4+z^4}$$

Problema del dia.( 9 de octubre)

Sean α y β dos circunferencias tales que el centro O de β está sobre α. Sean C y D los dos puntos de intersección de las circunferencias. Se toman un punto A sobre α y un punto B sobre β tales que AC es tangente a β en C y BC es tangente a α en el mismo punto C. El segmento AB corta de nuevo a β en E y ese mismo segmento corta de nuevo a α en F. La recta CE vuelve a cortar a α en G y la recta CF corta a la recta GD en H. Prueba que el punto de intersección de GO y EH es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo DEF.

Problemas del día (7 de Octubre)

1.- Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$. Muestra que
$\frac{a^{3}}{a^{3}+2}+\frac{b^{3}}{b^{3}+2}+\frac{c^{3}}{c^{3}+2}\geq{1}$ y que $\frac{1}{a^{3}+2}+\frac{1}{b^{3}+2}+\frac{1}{c^{3}+2}\leq{1}$

2.- Determina todas las parejas $(a,b)$ de reales positivos tales que $b<a$ y que satisfacen
$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}=134$ y $a\sqrt{b}+b\sqrt{a}=126$.

Problemas del día. (06 de octubre)

1. a) ¿Existen subconjuntos de dos elementos $A_1,A_2,A_3,...$ de los naturales tales que cada natural esté contenido en exactamente uno de ellos y que la suma de los elementos de $A_n$ sea $1391+n$ para todo entero $n\geq 1$?
b) ¿Existen subconjuntos de dos elementos $A_1,A_2,A_3,...$ de los naturales tales que cada natural esté contenido en exactamente uno de ellos y que la suma de los elementos de $A_n$ sea $1391+n^2$ para todo entero $n\geq 1$?

2. Una escalera eléctrica tiene la propiedad de que si $m$ personas están en ella, entonces su velocidad es $m^{-\alpha}$ donde $\alpha$ es una constante positiva. Supongamos que $n$ personas quieren subir utilizando la escalera. Si $l$ es la longitud de la escalera, ¿cuál es la menor cantidad de tiempo necesario para que las $n$ personas suban?

Problema del día

Sea $ABC$ un triángulo con $AB<BC$. Sea $D$ el punto medio de $AC$ y $E$ la intersección de la mediatriz de $AC$ con el lado $BC$. Por $E$ se traza una paralela a $AC$ que corta a $AB$ en $F$. Sea $G$ el punto de intersección de $EF$ y la mediariz de $AB$. Demuestra que

$tan(\angle EGD)$ $=$ $\frac{2|ABC|}{BC^2}$

Un número es suertudo si al sumar los cuadrados de sus cifras, y repetir esta operación suficientes veces, obtenemos el número 1. Por ejemplo, 1900 es suertudo, ya que 1900→82→68→100→1. Encuentre una infinidad de parejas de enteros consecutivos, donde ambos números sean suertudos.

Sea ABC un triángulo tal que AB>AC>BC. Sea D un punto sobre el lado AB de tal manera que CD=BC, y sea M el punto medio del lado AC. Muestra que BD=AC si y sólo si ∠BAC=2∠ABM.