Problemas del día. (27 de octubre)

Son ejercicios y problemas de parte entera (no sé si sirva mucho para el nacional...). Lo saqué de un archivo de Leonardo Martínez:

"En problemas de olimpiada frecuentemente se encuentran las funciones $\lfloor x \rfloor$ y $\lceil x \rceil$. La primera representa al mayor entero menor o igual a $x$ y la segunda al menor entero mayor o igual que $x$. Las siguientes sugerencias a veces resultan útiles para tratar a los problemas que involucran a estas funciones.

• Utilizar la desigualdad $x -1 <  \lfloor x \rfloor\leq  x \leq \lceil x \rceil < x + 1$.
• Para mostrar $\lfloor x \rfloor=n$, es su ciente y necesario que $n \leq x < n + 1$.
• Para mostrar $\lceil x \rceil=n$, es su ciente y necesario que $n - 1 < x \leq n$.
• Si $n$ y $k$ son enteros positivos y con el algoritmo de la divisi on de Euclides $n = kq+r$, entonces $\lfloor  \frac {n}{k}  \rfloor=q$
• Dividir en casos seg un en qué momentos $\lfloor x \rfloor$ y $\lceil x \rceil$ dan brincos.
• Considerar la parte fraccionaria de $x$: ${x} = x - \lfloor x \rfloor$. Siempre se tiene ${x}\in [0; 1)$.
• Perturbar ligeramente a $x$ de modo que $\lfloor x \rfloor\approx \lfloor x+\epsilon \rfloor$, pero que $\lfloor x+\epsilon \rfloor$ sea m as manejable algebr aicamente.

Ejercicios:
1. Muestra que $\lfloor x\rfloor$ y $\lceil x\rceil$ son funciones crecientes, es decir, que si $x\geq y$, entonces $\lfloor x\rfloor \geq \lfloor y\rfloor$ y $\lceil x\rceil \geq \lceil y\rceil$
2. Muestra que el residuo que deja un entero positivo $n$ al dividirse entre un entero positivo $k$ es $n-k\lfloor \frac{n}{k} \rfloor$.
3. Demuestra que para cualesquiera dos n umeros reales $x$ y $y$ se cumple que $\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor\leq\lfloor x+y\rfloor$.
4. Muestra que $\lfloor -x\rfloor= -\lfloor x\rfloor -1$ si $x$ no es entero y $\lfloor -x\rfloor=-x$ si $x$ es entero. Enuncia y muestra identidades similares para $\lceil -x\rceil$.
5. Supongamos que $\lfloor x\rfloor + \lceil x\rceil = 2x$. Muestra que $x$ es entero o la mitad de un entero.
6. Sean $k$ y $n$ enteros con $n$ entre $k^2$ y $k^2 + 2k$. ¿Cu al es el valor de $\sqrt{n}$?
7. ¿Cómo se comportan $\lfloor \frac{1}{x}\rfloor$ y $\lceil \frac{1}{x}\rceil$?
8. Muestra que para un real $x$ y un entero positivo $n$ se tiene que $\lfloor \frac{\lfloor x\rfloor}{n}\rfloor=\lfloor \frac{x}{n}\rfloor$.
9. Encuentra el valor de las siguientes sumas:

• $\sum_{j=0}^{100}\lfloor \frac{j}{10}\rfloor$
• $\sum_{j=0}^{100} \lfloor \sqrt{j}\rfloor$
• $\sum_{j=0}^{100}\lfloor \frac{j}{10}\rfloor+\lceil \frac{j}{10} \rceil$

10. Sean $a < b$ y $n$ enteros positivos que no tienen divisores en com ún salvo el $1$. Muestra que entre $1$ y $n$ hay $\lfloor \frac{n}{a}\rfloor+\lfloor \frac{n}{b}\rfloor-\lfloor \frac{n}{ab}\rfloor$ m últiplos de $a$ o de $b$."

Problemas:
1. Sea $n$ un entero positivo. Muestra que
$$\lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \rfloor = \lfloor \sqrt{4n+1} \rfloor = \lfloor \sqrt{4n+2} \rfloor = \lfloor \sqrt{4n+3} \rfloor$$
2. Sea $S(j)$ la suma de los divisores de $j$. Muestra que
$$S(1)+S(2)+...+S(n)=1\lfloor \frac{n}{1}\rfloor+2\lfloor \frac{n}{2}\rfloor+...+n\lfloor \frac{n}{n}\rfloor$$
3. Encontrar el residuo de dividir $\lfloor (2+\sqrt{3})^{20}\rfloor$ entre 3.