jueves, 3 de octubre de 2013

Un número es suertudo si al sumar los cuadrados de sus cifras, y repetir esta operación suficientes veces, obtenemos el número 1. Por ejemplo, 1900 es suertudo, ya que 190082681001. Encuentre una infinidad de parejas de enteros consecutivos, donde ambos números sean suertudos.

Sea ABC un triángulo tal que AB>AC>BC. Sea D un punto sobre el lado AB de tal manera que CD=BC, y sea M el punto medio del lado AC. Muestra que BD=AC si y sólo si BAC=2ABM.

6 comentarios:

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  2. Primero encontraré 2 números consecutivos que sean suertudos. Digamos que una combinación de dígitos $(a_{1},a_{2},...,a_{k})$ es suertuda sí $a_{1]^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{k}^{2}$ nos da un número suertudo.
    Si tuviésemos 2 números consecutivos, uno que termina en $x$ y otro que termina en $x+1$ (para $x+1\leq{9}$) entonces ambos son suertudos si digamos que $S$ es la suma de los cuadrados de los dígitos del menor número, pasa que $S, S+((x+1)^{2}-x^{2})$ son suertudos (pues sí eventualmente llegamos a 1 entonces esos números también dan números suertudos).
    $(x+1)^{2}-x^{2}=2x+1$ que es un impar
    Sabemos que $(9,1),(8,6)$ son combinaciones suertudas pues $(68,19)$ son suertudos.-
    $68\rightarrow{100}\rightarrow{1}$
    $91\rightarrow{82}\rightarrow{68}\rightarrow{100}\rightarrow{1}$
    Sí encontramos un número tal que $S=86, S+((x+1)^{2}-x^{2})=91$ (donde $S$ es la suma de dígitos del número y $x$ su último dígito menor a 9), entonces queremos que $(x+1)^{2}-x^{2}=91-86=5\Rightarrow{2x+1=5}\Rightarrow{x=2}$ entonces sea éste número $N=\overline{a_{1}a_{2}...a_{n}2}$ suertudo con $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}+4=86$ y vemos que el número $N+1=\overline{a_{1}a_{2}...a_{n}3}$ será suertudo pues $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}+9=91$.
    Queremos que $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}+4=86\Rightarrow a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}=82$ y vemos que le número $\boxed{912}$ cumple pues $9^{2}+1^{2}+2^{2}=86$
    Entonces a partir de la pareja $(912,913)$ vemos que todas las parejas de la forma $(\overline{91\underbrace{00...0}2},\overline{91\underbrace{00...0}3}$ (la cantidad de $0s$ en las llaves de ambos números es la misma) cumplen en ser consecutivos y que su suma siempre será $86$ y $91$ respectivamente, entonces serán suertudos, como la cantidad de $0s$ es cualquier natural y hay infinitos de esos entonces hay infinitas parejas suertudas.

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  3. Los números 111...11000...002, 111...11000...003 con 82 1's y cualquier cantidad de 0's (la misma cantidad en ambos) son ambos suertudos y consecutivos.
    $111...11000...002\rightarrow 82(1^2)+2^2=86\rightarrow 100\rightarrow 1$
    $111...11000...003 \rightarrow 82(1^2)+3^2=91\rightarrow 82 \rightarrow 68 \rightarrow 100 \rightarrow 1$
    Como puede ser cualquier cantidad de 0's, hay una cantidad infinita de parejas de suertudos consecutivos.

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  4. Prolongo $CA$ por $A$ hasta $E$ de forma que $AE=AD$.
    Sea $2\alpha = \angle BAC\Rightarrow \angle EAD=180-2\alpha$
    y como $\triangle EAD$ es isósceles, $\angle DEA=\angle EDA=\alpha$.
    Sea $\angle DBC=\beta$, como $\triangle BCD$ es isósceles,
    $\angle BDC=\beta\Rightarrow\angle ADC=180-\beta\Rightarrow\angle EDC=180+\alpha-\beta$
    Por teorema de la bisectriz generalizado en $\triangle ABC$,
    $\frac{AB\times sen(\angle ABM)}{BC\times sen(\angle MBC)}=\frac{AM}{MC}=1 \Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{sen(\beta-\angle ABM)}{sen(\angle ABM)}$

    Por ley de senos en $\triangle EDC$,
    $\frac{DC}{sen(\alpha)}=\frac{EC}{\sen(180+\alpha-\beta)}\Rightarrow \frac{EC}{DC}=\frac{sen(180+\alpha-\beta)}{sen(\alpha)} \Rightarrow \frac{EC}{BC}=\frac{sen(\beta-\alpha)}{sen(\alpha)}$

    $\frac{sen(\beta-\theta)}{sen(\theta)}=\frac{sen(\beta)cos(\theta)-sen(\theta)cos(\beta)}{sen(\theta)}=sen(\beta)\frac{1}{tan(\theta)}-cos(\beta)$

    $\angle BAC=2\angle ABM \Leftrightarrow \alpha=\angle ABM \Leftrightarrow tan(\alpha)=tan(\angle ABM)$
    $\Leftrightarrow sen(\beta)\frac{1}{tan(\alpha)}-cos(\beta)=sen(\beta)\frac{1}{tan(\angle ABM)}-cos(\beta) \Leftrightarrow \frac{sen(\beta-\alpha)}{sen(\alpha)}=\frac{sen(\beta-\angle ABM)}{sen(\angle ABM)}$
    $\Leftrightarrow \frac{EC}{BC}=\frac{AB}{BC} \Leftrightarrow EC=AB\Leftrightarrow AC=DB$

    Por lo tanto $\angle BAC=2\angle ABM \Leftrightarrow AC=DB$

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  5. Agregar ceros es muy mainstream. Aqui pueden encontrar otra construcción en los comentarios
    http://www.matetam.com/problemas/algebra/numeros-suertudos

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