Sea
jueves, 3 de octubre de 2013
Un número es suertudo si al sumar los cuadrados de sus cifras, y repetir esta operación suficientes veces, obtenemos el número 1. Por ejemplo, 1900 es suertudo, ya que 1900→82→68→100→1 . Encuentre una infinidad de parejas de enteros consecutivos, donde ambos números sean suertudos.
SeaABC un triángulo tal que AB>AC>BC . Sea D un punto sobre el lado AB de tal manera que CD=BC , y sea M el punto medio del lado AC . Muestra que BD=AC si y sólo si ∠BAC=2∠ABM.
Sea
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ResponderBorrarPrimero encontraré 2 números consecutivos que sean suertudos. Digamos que una combinación de dígitos (a1,a2,...,ak) es suertuda sí a_{1]^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{k}^{2} nos da un número suertudo.
ResponderBorrarSi tuviésemos 2 números consecutivos, uno que termina en x y otro que termina en x+1 (para x+1≤9) entonces ambos son suertudos si digamos que S es la suma de los cuadrados de los dígitos del menor número, pasa que S,S+((x+1)2−x2) son suertudos (pues sí eventualmente llegamos a 1 entonces esos números también dan números suertudos).
(x+1)2−x2=2x+1 que es un impar
Sabemos que (9,1),(8,6) son combinaciones suertudas pues (68,19) son suertudos.-
68→100→1
91→82→68→100→1
Sí encontramos un número tal que S=86,S+((x+1)2−x2)=91 (donde S es la suma de dígitos del número y x su último dígito menor a 9), entonces queremos que (x+1)2−x2=91−86=5⇒2x+1=5⇒x=2 entonces sea éste número N=¯a1a2...an2 suertudo con a21+a22+...+a2n+4=86 y vemos que el número N+1=¯a1a2...an3 será suertudo pues a21+a22+...+a2n+9=91.
Queremos que a21+a22+...+a2n+4=86⇒a21+a22+...+a2n=82 y vemos que le número 912 cumple pues 92+12+22=86
Entonces a partir de la pareja (912,913) vemos que todas las parejas de la forma (¯9100...0⏟2,¯9100...0⏟3 (la cantidad de 0s en las llaves de ambos números es la misma) cumplen en ser consecutivos y que su suma siempre será 86 y 91 respectivamente, entonces serán suertudos, como la cantidad de 0s es cualquier natural y hay infinitos de esos entonces hay infinitas parejas suertudas.
muy bien:D
ResponderBorrarLos números 111...11000...002, 111...11000...003 con 82 1's y cualquier cantidad de 0's (la misma cantidad en ambos) son ambos suertudos y consecutivos.
ResponderBorrar111...11000...002→82(12)+22=86→100→1
111...11000...003→82(12)+32=91→82→68→100→1
Como puede ser cualquier cantidad de 0's, hay una cantidad infinita de parejas de suertudos consecutivos.
Prolongo CA por A hasta E de forma que AE=AD.
ResponderBorrarSea 2α=∠BAC⇒∠EAD=180−2α
y como △EAD es isósceles, ∠DEA=∠EDA=α.
Sea ∠DBC=β, como △BCD es isósceles,
∠BDC=β⇒∠ADC=180−β⇒∠EDC=180+α−β
Por teorema de la bisectriz generalizado en △ABC,
AB×sen(∠ABM)BC×sen(∠MBC)=AMMC=1⇒ABBC=sen(β−∠ABM)sen(∠ABM)
Por ley de senos en △EDC,
DCsen(α)=EC\sen(180+α−β)⇒ECDC=sen(180+α−β)sen(α)⇒ECBC=sen(β−α)sen(α)
sen(β−θ)sen(θ)=sen(β)cos(θ)−sen(θ)cos(β)sen(θ)=sen(β)1tan(θ)−cos(β)
∠BAC=2∠ABM⇔α=∠ABM⇔tan(α)=tan(∠ABM)
⇔sen(β)1tan(α)−cos(β)=sen(β)1tan(∠ABM)−cos(β)⇔sen(β−α)sen(α)=sen(β−∠ABM)sen(∠ABM)
⇔ECBC=ABBC⇔EC=AB⇔AC=DB
Por lo tanto ∠BAC=2∠ABM⇔AC=DB
Agregar ceros es muy mainstream. Aqui pueden encontrar otra construcción en los comentarios
ResponderBorrarhttp://www.matetam.com/problemas/algebra/numeros-suertudos