p divide a f(n) si y solo si existe un entero m tal que p divide a (m^2) -5.
2.-Sean X,Y los extremos de un diametro de una circunferencia G y N el punto medio de uno de los arcos XY de G. Sean A y B dos puntos en el segmento XY. Las rectas NA y NB cortan nuevamente a la circunferencia G en los puntos C y D,respectivamente. Las tangentes a G por los puntos C y D se cortan en P. Muestre que la recta NP biseca al segmento AB.
El problema 2 es de hecho el problema 2 de la ibero de este año, con el siguiente link casi les regalo la solucion de este problema, son varios problemas de simedianas y luego de haber hecho la mayoria de ellos la solucion a este problema de la ibero es casi trivial, por eso me parecio interesante hacer los problemas de simedianas.
http://yaqui.mxl.uabc.mx/~carrera_electronica/ommbc/entrenate/geometria/simedianas.pdf
1. $f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)+1=x(x+1)(x^2+5x+6)+1=x(x^3+6x^2+11x+6)+1$
ResponderBorrar$=x^4+6x^3+11x^2+6x+1=(x+1)^4+2x^3+5x^2+2x=(x+1)^4+2x(x+1)^2+x^2$
$=[(x+1)^2+x]^2$
$p|f(n)=[(n+1)^2+n]^2 \Leftrightarrow p|(n+1)^2+n$ por el lema de Euclides y el regreso es porque se puede multiplicar por cualquier cosa.
$p|(n+1)^2+n=n^2+3n+1\Leftrightarrow p|4n^2+12n+4=4n^2+12n+9-5=(2n+3)^2-5$ (puedo multiplicar por cualquier cosa y dividir entre 4 porque $(p,4)=1$).
Entonces $p|f(n) \Rightarrow p|(2n+3)^2-5=m^2-5$ y si $m$ es impar me puedo regresar en lo que hice.
Si existe un $m$ y es par, $p|m^2-5\Rightarrow p|m^2+2mp-p^2-5=(m+p)^2-5$ entonces $m+p$ también cumple, y como $p$ es impar, $m+p$ es impar.
Entonces si existe un $m$, siempre hay uno que es impar y me puedo regresar en lo que hice para la primera parte, entonces existe $n$ tal que $p|f(n)$
Muy bien.
Borrar2. Sea $O$ el centro de la circunferencia. Por ser ángulo interior
ResponderBorrar$\angle NBX=\frac{\angle NOX+\angle YOD}{2}=\frac{\angle NOY+\angle YOD}{2}=\frac{\angle NOD}{2}=\angle NCD$
($\angle NOX=\angle NOY$ porque $N$ es el punto medio del arco $XY$)
Entonces por AA, $\triangle NAB \sim \triangle NDC$
Sabemos que $NP$ es simediana de $\triangle NDC$, entonces en $triangle NAB$ la línea $NP$ es isogonal a la simediana, entonces es mediana y biseca a $AB$.
Muy bien la solucion, intenta los problemas que vienen en la pagina que puse, la mayoria se resuelven igual.
ResponderBorrarIba a poner todo bien bello en latex, pero yolo. Lo que intenté fue usar símbolo de Legendre. De ahí saqué que p divide a m^2-5 si y sólo si p es residuo cuadrático módulo 5. Luego, vi que n(n+1)(n+2)(n+3)+1 es congruente a 1 ó a 0 mod 5. Luego, basado en eso, traté de demostrar que todos los divisores impares de n(n+1)(n+2)(n+3)+1=((n+1)^2+n)^2 tienen que ser residuos cuadráticos mod 5, o sea que todos divisores impares de (n+1)^2+n -distintos de 5- tienen que ser residuos cuadráticos módulo 5, dígase 1 ó -1. No sé si alguien guste completar mi idea.
ResponderBorrar2) Nos fijamos en que NP es la simediana de NCD, luego, sólo basta demostrar que AB y CD son antiparalelas. Para ésto, nos fijamos en que los angulos NXY y NCY son iguales a 45. Además, sea q=YND. Luego, el ángulo NCD mide 45+q. Ahora nos fijamos en que el ángulo NCB es igual a la suma de los ángulos YND y XYN, igual a 45+q. Por lo tanto, AB y CD son antiparalelas, y como NP es simediana de CD, debe ser mediana de AB.
ResponderBorrarBueno el problema 2 nos fijamos que por el teorema del librito que PN es simediana del NCD entonces ahora por demostra que AB y CD son antiparalelas y esto se demuestra nadamas con que el angulo ABN= NCD por teorema del librito shuyringuin sabemos que el angulo ABN es igual a (arco XN + arco DY)/2 y sabemos por angulo inscrito que NCD= (arco NY + ARCODY)/2 entonces por demostrar que el arco XN = al arco NY pero esto es cierto por el problema entonces AB es antiparalela de CD por lotanto NP es mediana del triangulo NAB
ResponderBorrar$p|f(n)=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^{2}+3n+1)^{2}$ pero p es primo, entonces $p|n^{2}+3n+1\Leftrightarrow{p|4n^{2}+12n+4}=(2x+3)^{2}-5$ (el sí y solo sí es válido pues $mcd(p,2)=1$ ya que p es primo par). Vemos que $m=2x+3$ y todos los pasos son reversibles $\therefore\boxed{\exists{n}\Leftrightarrow\exists{m}}$
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