p divide a f(n) si y solo si existe un entero m tal que p divide a (m^2) -5.
2.-Sean X,Y los extremos de un diametro de una circunferencia G y N el punto medio de uno de los arcos XY de G. Sean A y B dos puntos en el segmento XY. Las rectas NA y NB cortan nuevamente a la circunferencia G en los puntos C y D,respectivamente. Las tangentes a G por los puntos C y D se cortan en P. Muestre que la recta NP biseca al segmento AB.
El problema 2 es de hecho el problema 2 de la ibero de este año, con el siguiente link casi les regalo la solucion de este problema, son varios problemas de simedianas y luego de haber hecho la mayoria de ellos la solucion a este problema de la ibero es casi trivial, por eso me parecio interesante hacer los problemas de simedianas.
http://yaqui.mxl.uabc.mx/~carrera_electronica/ommbc/entrenate/geometria/simedianas.pdf
1. f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)+1=x(x+1)(x2+5x+6)+1=x(x3+6x2+11x+6)+1
ResponderBorrar=x4+6x3+11x2+6x+1=(x+1)4+2x3+5x2+2x=(x+1)4+2x(x+1)2+x2
=[(x+1)2+x]2
p|f(n)=[(n+1)2+n]2⇔p|(n+1)2+n por el lema de Euclides y el regreso es porque se puede multiplicar por cualquier cosa.
p|(n+1)2+n=n2+3n+1⇔p|4n2+12n+4=4n2+12n+9−5=(2n+3)2−5 (puedo multiplicar por cualquier cosa y dividir entre 4 porque (p,4)=1).
Entonces p|f(n)⇒p|(2n+3)2−5=m2−5 y si m es impar me puedo regresar en lo que hice.
Si existe un m y es par, p|m2−5⇒p|m2+2mp−p2−5=(m+p)2−5 entonces m+p también cumple, y como p es impar, m+p es impar.
Entonces si existe un m, siempre hay uno que es impar y me puedo regresar en lo que hice para la primera parte, entonces existe n tal que p|f(n)
Muy bien.
Borrar2. Sea O el centro de la circunferencia. Por ser ángulo interior
ResponderBorrar∠NBX=∠NOX+∠YOD2=∠NOY+∠YOD2=∠NOD2=∠NCD
(∠NOX=∠NOY porque N es el punto medio del arco XY)
Entonces por AA, △NAB∼△NDC
Sabemos que NP es simediana de △NDC, entonces en triangleNAB la línea NP es isogonal a la simediana, entonces es mediana y biseca a AB.
Muy bien la solucion, intenta los problemas que vienen en la pagina que puse, la mayoria se resuelven igual.
ResponderBorrarIba a poner todo bien bello en latex, pero yolo. Lo que intenté fue usar símbolo de Legendre. De ahí saqué que p divide a m^2-5 si y sólo si p es residuo cuadrático módulo 5. Luego, vi que n(n+1)(n+2)(n+3)+1 es congruente a 1 ó a 0 mod 5. Luego, basado en eso, traté de demostrar que todos los divisores impares de n(n+1)(n+2)(n+3)+1=((n+1)^2+n)^2 tienen que ser residuos cuadráticos mod 5, o sea que todos divisores impares de (n+1)^2+n -distintos de 5- tienen que ser residuos cuadráticos módulo 5, dígase 1 ó -1. No sé si alguien guste completar mi idea.
ResponderBorrar2) Nos fijamos en que NP es la simediana de NCD, luego, sólo basta demostrar que AB y CD son antiparalelas. Para ésto, nos fijamos en que los angulos NXY y NCY son iguales a 45. Además, sea q=YND. Luego, el ángulo NCD mide 45+q. Ahora nos fijamos en que el ángulo NCB es igual a la suma de los ángulos YND y XYN, igual a 45+q. Por lo tanto, AB y CD son antiparalelas, y como NP es simediana de CD, debe ser mediana de AB.
ResponderBorrarBueno el problema 2 nos fijamos que por el teorema del librito que PN es simediana del NCD entonces ahora por demostra que AB y CD son antiparalelas y esto se demuestra nadamas con que el angulo ABN= NCD por teorema del librito shuyringuin sabemos que el angulo ABN es igual a (arco XN + arco DY)/2 y sabemos por angulo inscrito que NCD= (arco NY + ARCODY)/2 entonces por demostrar que el arco XN = al arco NY pero esto es cierto por el problema entonces AB es antiparalela de CD por lotanto NP es mediana del triangulo NAB
ResponderBorrarp|f(n)=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2 pero p es primo, entonces p|n2+3n+1⇔p|4n2+12n+4=(2x+3)2−5 (el sí y solo sí es válido pues mcd(p,2)=1 ya que p es primo par). Vemos que m=2x+3 y todos los pasos son reversibles ∴∃n⇔∃m
ResponderBorrar