lunes, 14 de octubre de 2013

Problemas del día (14 de Octubre)

1. Sean $a,b,c$ números positivos que satisfacen $abc=1$, muestre que:
$\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{c^{5}+a^{5}+ca}\leq{1}$

Una de las soluciones de este problema tiene una idea alternativa para el problema de desigualdades del 7 de Octubre

2. Considera la secuencia $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ definida por: $a_{1}=1, a_{2k}=1+a_{k}$, y $a_{2k+1}=\frac{1}{a_{2k}}$ para $k\geq{1}$. Demuestra que todo número racional positivo aparece en la secuencia $\{a_n\}$ exactamente una vez.


3 comentarios:

  1. 2. Hago una cuadrícula infinita con filas y columnas $1,2,3,...$
    A cada cuadro $(i,j)$ (fila,columna) de la cuadrícula le asigno el racional $\frac{i}{j}$ y escribo el número $n$ en ese cuadro si $a_n=\frac{i}{j}$. Cada racional tiene al menos un cuadro y cada cuadro representa un racional. Si $\frac{i}{j}$ no es irreducible, entonces el cuadro $(i,j)$ está vacío.

    Voy a demostrar 2 cosas: (1) Que en cada cuadro aparece a lo más un número, (2) Que si en el cuadro $(i,j)$ no hay números entonces $\frac{i}{j}$ se puede simplificar. Eso implicaría que todos los cuadros de racionales tienen exactamente un número, que es lo que quiero.

    Los números pares están debajo de la diagonal principal (la diagonal $i=j$), porque $a_{2k}=1+a_k$ y eso es mayor a 1 y en los cuadros en o sobre la diagonal $i\leq j\Rightarrow \frac{i}{j}\leq 1$
    Los números impares están sobre la diagonal porque son el reflejo del par anterior respecto a la diagonal ($a_{2k}=\frac{i}{j}\Rightarrow a_{2k+1}=\frac{1}{\frac{i}{j}}=\frac{j}{i}$, si $2k$ está bajo la diagonal entonces $i\geq j$ entonces $2k+1$ está sobre la diagonal). Como son el reflejo, basta probar lo que quiero para los pares.

    Lema: En el cuadro $(aj+i,j)$, con $a\geq 1, 1\leq i \leq j$ hay la misma cantidad de números que en $(i,j)$.
    Demostración: Si $a_k=\frac{i}{j}\Rightarrow a_{k2^a}=\frac{aj+i}{j}$ entonces si hay $x$ números en $(i,j)$ hay al menos $x$ en $(aj+i,j)$. Como $(aj+i,j)$ está bajo la diagonal los números deben ser pares entonces sus mitades están en $(j(a-1)+i,j)$ y ese cuadro tiene al menos la misma cantidad de números que $(i+aj,j)$, esto se puede repetir hasta llegar a $(i,j)$. Entonces $(i+aj,j),(i,j)$ tienen cada uno al menos la misma cantidad de números que el otro, por lo tanto tienen la misma cantidad.

    Voy a demostrar (1) por inducción sobre las columnas.
    El caso base es la primera columna. Si hubiera un cuadro con más de un número, por el lema en $(1,1)$ hay más de un número, entonces hay varios $k$ tales que $a_k=1$, pero si $k$ es par $a_k$ es mayor a 1 y si es impar mayor a 1, por lo anterior es menor a 1 (1/{número mayor a 1}), contradicción, entonces en la primera columna no hay cuadros con dos o más números.
    Supongamos que hasta la columna $x$ hay a lo más un número por cuadro, por la simetría con la diagonal esto implica que en las primeras $x$ filas hay a lo más un número por cuadro. Supongamos que en la columna $x+1$ hay un cuadro con más de un número, por el lema debe haber un cuadro en esa columna y encima de la diagonal con más de un número, pero en las primeras $x$ filas hay a lo más 1 número por cuadro y en $(x+1,x+1)$ no hay números porque $\frac{x+1}{x+1}=\frac{1}{1}$, contradicción, por lo tanto en la columna $x+1$ también se cumple (1).
    Entonces se cumple en todas las columnas.

    (2) se demuestra por inducción con la misma idea.
    El caso base es la columna 1, todas las fracciones (cuadros) de esa columna son irreducibles porque el denominador es 1.
    Supongamos que hasta la columna $x$ los cuadros vacíos son los de fracciones sin simplificar, entonces hasta la fila $x$ también cumple por la simetría.
    Supongamos que en la columna $x+1$ hay un cuadro $(i+aj,j)$ con $i\leq j$ vacío, entonces $(i,j)$ también está vacío. Por hipótesis de inducción hay un $d\geq 2$ tal que $d|i,j\Rightarrow d|i+aj,j$ entonces $\frac{i+aj}{j}$ se puede simplificar, que es lo que quería.

    Por lo tanto cada racional aparece exactamente una vez en la secuencia.

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  2. Hint para el 1.-
    Si $y\geq{z}\Rightarrow\frac{x}{z}\geq\frac{x}{y}$

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