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martes, 1 de octubre de 2013
Problema del Martes
Se tiene un segmento AD y se escogen aleatoriamente dos puntos distintos sobre AD que lo dividen en 3 segmentos.
¿Cual es la probabilidad de que se pueda formar un triángulo con estos segmentos nuevos?
Llamo a los dos puntos B,C con B más cerca de A que C y a la longitud AD la llamo a. Se puede formar un triángulo si y sólo si AB<BC+CD=BD;BC<AB+CD;CD<AB+BC=AC, esto es equivalente a AB<a2;CD<a2;a2<AB+CD (esto es porque AB+BC+CD=a). A cada pareja de puntos que se escoja en AD le asignamos el punto (AB,CD) en el plano. Todos los puntos que podemos escoger están en un triángulo rectángulo de catetos a, el delimitado por los puntos (0,0),(a,0),(0,a), porque son los que cumplen que AB+CD=x+y<a. Este triángulo tiene área a22 De esos puntos sólo nos interesan los que cumplen AB=x<a2,CD=y<a2, que son los que están en el cuadrado (0,0),(a2,0),(a2,a2)(0,a2). De esos se tiene que cumplir a2<AB+CD=x+y entonces los que cumplen son los puntos que están "encima" de la línea a2=x+y que son los puntos en el triángulo (a2,0),(a2,a2)(0,a2), de área (a22)2=a28 Los puntos en ese triángulo cumplen las tres condiciones que había dado, entonces cumplen que forman un triángulo. La probabilidad es igual al área en la que los puntos cumplen entre el área de todos los puntos, que es a28a22=14.
Llamo a los dos puntos B,C con B más cerca de A que C y a la longitud AD la llamo a.
ResponderBorrarSe puede formar un triángulo si y sólo si
AB<BC+CD=BD;BC<AB+CD;CD<AB+BC=AC, esto es equivalente a
AB<a2; CD<a2; a2<AB+CD (esto es porque
AB+BC+CD=a).
A cada pareja de puntos que se escoja en AD le asignamos el punto (AB,CD) en el plano.
Todos los puntos que podemos escoger están en un triángulo rectángulo de catetos a, el delimitado por los puntos (0,0),(a,0),(0,a), porque son los que cumplen que AB+CD=x+y<a. Este triángulo tiene área a22
De esos puntos sólo nos interesan los que cumplen
AB=x<a2, CD=y<a2, que son los que están en el cuadrado
(0,0),(a2,0),(a2,a2)(0,a2).
De esos se tiene que cumplir
a2<AB+CD=x+y entonces los que cumplen son los puntos que están "encima" de la línea
a2=x+y que son los puntos en el triángulo
(a2,0),(a2,a2)(0,a2), de área (a22)2=a28
Los puntos en ese triángulo cumplen las tres condiciones que había dado, entonces cumplen que forman un triángulo.
La probabilidad es igual al área en la que los puntos cumplen entre el área de todos los puntos, que es
a28a22=14.
Bien, Chacón
BorrarLos puntos estan en el segmento?
ResponderBorrarSi
BorrarLos puntos estan en el segmento?
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