martes, 1 de octubre de 2013

Problema del Martes

Se tiene un segmento $AD$ y se escogen aleatoriamente dos puntos distintos sobre $AD$ que lo dividen en 3 segmentos.
¿Cual es la probabilidad de que se pueda formar un triángulo con estos segmentos nuevos?

5 comentarios:

  1. Llamo a los dos puntos $B,C$ con $B$ más cerca de $A$ que $C$ y a la longitud $AD$ la llamo $a$.
    Se puede formar un triángulo si y sólo si
    $AB < BC+CD=BD; BC<AB+CD; CD<AB+BC=AC$, esto es equivalente a
    $AB< \frac{a}{2};$ $CD< \frac{a}{2};$ $\frac{a}{2}<AB+CD$ (esto es porque
    $AB+BC+CD=a$).
    A cada pareja de puntos que se escoja en $AD$ le asignamos el punto $(AB,CD)$ en el plano.
    Todos los puntos que podemos escoger están en un triángulo rectángulo de catetos $a$, el delimitado por los puntos $(0,0),(a,0),(0,a)$, porque son los que cumplen que $AB+CD=x+y<a$. Este triángulo tiene área $\frac{a^2}{2}$
    De esos puntos sólo nos interesan los que cumplen
    $AB=x< \frac{a}{2},$ $CD=y< \frac{a}{2}$, que son los que están en el cuadrado
    $(0,0),(\frac{a}{2},0),(\frac{a}{2},\frac{a}{2})(0,\frac{a}{2})$.
    De esos se tiene que cumplir
    $\frac{a}{2}<AB+CD=x+y$ entonces los que cumplen son los puntos que están "encima" de la línea
    $\frac{a}{2}=x+y$ que son los puntos en el triángulo
    $(\frac{a}{2},0),(\frac{a}{2},\frac{a}{2})(0,\frac{a}{2})$, de área $\frac{(\frac{a}{2}^2)}{2}=\frac{a^2}{8}$
    Los puntos en ese triángulo cumplen las tres condiciones que había dado, entonces cumplen que forman un triángulo.
    La probabilidad es igual al área en la que los puntos cumplen entre el área de todos los puntos, que es
    $\frac{\frac{a^2}{8}}{\frac{a^2}{2}}=\frac{1}{4}$.

    ResponderEliminar