jueves, 17 de octubre de 2013

Problemas del dia
1-Usando solamente regla encuentre los puntos medios de dos segmentos paralelos dados.

2- Sean  $a,b,c$  numeros Reales positivos tales que $abc=8$ muestre que 

$\frac{a-2){a+1}+\frac{b-2}{b+1}+\frac{c-2}{c+1}\leq{0}$  
b
3- Sea $ABC$ un triangulo acutangulo tal que $K$ es un punto sobre el arco $BC$ de su circuncirculo y $L$ es el punto de la interseccion de las cuerdas $AK$ y $BC$. Sean $M$ y $N$ puntos sobre los lados $AB$ y $AC$ respectivamente de manera que $LM$ es perpendicular a $AB$ y $LN$ es perpendicular a $AC$. Demuestra que si el area del triangulo $ABC$ es igual al area del cuadrilatero $AMNK$ entonces $AK$ biseca al angulo en $A$ o $AK$ es diametro del crcuncirculo del triangulo $ABC$

6 comentarios:

  1. 1. Sean AB,CD los segmentos (de forma que si se traza una línea que corte a los dos segmentos, A y C queden de un lado y B y D del otro de la línea). Si los dos segmentos no son lados de un paralelogramo, sea E el punto de intersección de AC y BD. Por Tales EA/EC=EB/ED entonces AC/CE=BD/DE (asumo que E está más cerca de CD que de AB).
    Sea F la intersección de AD y BC. Trazamos EF de forma que corte a AB en P y a CD en Q. Por Ceva, AC/CE * ED/DB * BP/PA=1 entonces BP/PA=1 y BP=PA, entonces P es el punto medio. Como EAB y ECD son semejantes, Q debe ser punto medio de CD.
    Si AB y CD son los lados de un paralelogramo, sea D' un punto sobre CD distinto de D,C; con el método anterior se biseca a AB, luego se hace un punto B' en AB y se biseca a DC.

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    1. "1-Usando solamente regla encuentre los puntos medios de dos segmentos paralelos dados."
      Nombro los extremos de los segmentos y encuentro los puntos medios P,Q.

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    2. jejeje nome acorde que eran 3 problemas y pues se me hacia raro sorry esta bien

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  2. $\frac{a-2}{a+1}+\frac{b-2}{b+1}+\frac{c-2}{c+1}\leq 0$
    $\Leftrightarrow \frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\leq \frac{3}{a+1}+\frac{3}{b+1}+\frac{3}{c+1}$
    $\Leftrightarrow 3\leq 3(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$
    $\Leftrightarrow 1\leq \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}$
    $\Leftrightarrow 1\leq \frac{(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$
    $\Leftrightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\leq (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)$
    $\Leftrightarrow abc+(ab+bc+ca)+(a+b+c)+1\leq (ab+bc+ca)+2(a+b+c)+3$
    $\Leftrightarrow 8+1\leq a+b+c+3$
    $\Leftrightarrow 6\leq a+b+c$
    $\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{3}\geq 2=\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{abc}$ que es cierto por MA-MG.

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