Encontrar todos los números primos p para los cuales el número p2+11 tiene exactamente 6 divisores positivos (el 1 y el número incluidos).
martes, 15 de octubre de 2013
Problema del dia
En la pizarra está escrito el número 2. Macaría y Polino juegan alternadamente, comenzando por Macaria. Cada uno en su turno sustituye el número escrito por el que se obtiene de aplicar exactamente una de las siguiente operaciones: multiplicarlo por 2 o multiplicarlo por 3 o sumarle 1. El primero que obtenga un resultado mayor o igual a 2011 gana. Decidir quién tiene una estrategia ganadora y describirla.
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1. Sea $A$ el ganador y $B$ el perdedor, vemos el siguiente rango:
ResponderBorrar$(\text{R}_{1})\text{num}\geq{671}\Rightarrow\text{posicion ganadora}$
Pues al multiplicarlo por 3 se obtiene un número mayor o igual a $3(671)=2013>2011$
Ahora tenemos que:
$(\text{R}_{2})336\leq\text{par}\leq670\Rightarrow\text{posicion perdedora}$
pues al multiplicarlo por 2 o por 3 es claro que cae en $(\text{R}_{1})$ por lo que estará obligado a sumar 1, $A$ también sumará 1s para mantenerlo en $(\text{R}_{2})$ bajo la misma obligación, eventualmente $B$ le dejará a $A$ el $671$ pues es un impar y entonces $A$ estará en posición ganadora.
Ahora vemos que cada uno de esos impares puede ser obtenido a partir de sumarle 1 al número anterior lo cual nos deja posición contraria en el siguiente rango:
$(\text{R}_{3})335\leq\text{impar}\leq{669}\Rightarrow\text{posicion ganadora}$
Entonces ahora tenemos que:
$(\text{R}_{4})168\leq\text{num}\leq{335}\Rightarrow\text{posicion ganadora}$
pues al multiplicarlo por 2 cae en $(\text{R}_{2})$ lo cual es posición perdedora.
De aquí que:
$(\text{R}_{5})84\leq\text{par}\leq{166}\Rightarrow\text{posicion ganadora}$
pues $A$ le suma 1 y le deja un impar, si $B$ lo multiplica por 2 o 3 cae en $(\text{R}_{3})$ o en $(\text{R}_{4})$ que son posiciones ganadoras
Ahora tenemos que:
$(\text{R}_{6})57\leq\text{impar}\leq{167}\Rightarrow\text{posicion perdedora}$
Pues al multiplicarlo por 2 o 3 cae en $(\text{R}_{4})$ o en $(\text{R}_{5})$ por lo que estará obligado a sumar 1, $A$ también sumará 1s para mantenerlo en $(\text{R}_{6})$ bajo la misma obligación, eventualmente $B$ le dejará a $A$ el $168$ pues es un par y entonces $A$ estará en posición ganadora. sacamos que:
$(\text{R}_{7})56\leq\text{par}\leq{166}\Rightarrow\text{posicion ganadora}$
Ya que al sumarle uno obtenemos a $(\text{R}_{6})$. De aquí que:
$(\text{R}_{8})19\leq\text{impar}\leq{55}\Rightarrow\text{posicion ganadora}$
pues lo multiplicamos por 3 y va a caer en $(\text{R}_{6})$
Sacamos que:
$(\text{R}_{9})28\leq\text{par}\leq{54}\Rightarrow\text{posicion perdedora}$
pues al aplicarle alguna operación lo deja en $(\text{R}_{7})$ o en $(\text{R}_{8})$
Luego tendremos que:
$(\text{R}_{10})14\leq\text{num}\leq{27}\Rightarrow\text{posicion ganadora}$
pues al multiplicarlo por 2 cae en $(\text{R}_{9})$
$\bullet$ 9 pierde pues se pueden obtener 10, 18, 27 pero 18, 27 ganan por $R_{10}$ y el 10 lo multiplican por 2, cae en $R_{9}$ que pierde entonces 10 gana, como se gana con cualquier operación, entonces 9 pierde.
$\bullet$ 7 pierde pues se pueden obtener 8, 14, 21 pero 14, 21 ganan por $R_{10}$ y del 8 se obtiene el 9 sumando 1, 9 pierde entonces 8 gana, como se gana con cualquier operación, entonces 7 pierde.
$\bullet$ 5 pierde pues se pueden obtener 6, 10, 15 pero 15 gana por $R_{10}$, ya sabíamos que 10 gana y de 6 se obtiene el 7 que pierde entonces 6 gana, como se gana con cualquier operación, entonces 5 pierde.
Del 3, 4, 6 se puede llegar a uno de 5, 7, 9 (los cuales pierden) con una operación entonces 3, 4, 6 ganan que son todos los resultados de las operaciones a partir del 2, por lo que el 2 deja posiciones ganadoras y pierde, Macaria es la que inicia con el 2 por lo tanto Macaria pierde y Polino es el que tiene estrategia ganadora (la cual es los pasos inversos a los rangos que di)
Polino debería estar muerto... jaja