Encontrar todos los números primos p para los cuales el número p2+11 tiene exactamente 6 divisores positivos (el 1 y el número incluidos).
martes, 15 de octubre de 2013
Problema del dia
En la pizarra está escrito el número 2. Macaría y Polino juegan alternadamente, comenzando por Macaria. Cada uno en su turno sustituye el número escrito por el que se obtiene de aplicar exactamente una de las siguiente operaciones: multiplicarlo por 2 o multiplicarlo por 3 o sumarle 1. El primero que obtenga un resultado mayor o igual a 2011 gana. Decidir quién tiene una estrategia ganadora y describirla.
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1. Sea A el ganador y B el perdedor, vemos el siguiente rango:
ResponderBorrar(R1)num≥671⇒posicion ganadora
Pues al multiplicarlo por 3 se obtiene un número mayor o igual a 3(671)=2013>2011
Ahora tenemos que:
(R2)336≤par≤670⇒posicion perdedora
pues al multiplicarlo por 2 o por 3 es claro que cae en (R1) por lo que estará obligado a sumar 1, A también sumará 1s para mantenerlo en (R2) bajo la misma obligación, eventualmente B le dejará a A el 671 pues es un impar y entonces A estará en posición ganadora.
Ahora vemos que cada uno de esos impares puede ser obtenido a partir de sumarle 1 al número anterior lo cual nos deja posición contraria en el siguiente rango:
(R3)335≤impar≤669⇒posicion ganadora
Entonces ahora tenemos que:
(R4)168≤num≤335⇒posicion ganadora
pues al multiplicarlo por 2 cae en (R2) lo cual es posición perdedora.
De aquí que:
(R5)84≤par≤166⇒posicion ganadora
pues A le suma 1 y le deja un impar, si B lo multiplica por 2 o 3 cae en (R3) o en (R4) que son posiciones ganadoras
Ahora tenemos que:
(R6)57≤impar≤167⇒posicion perdedora
Pues al multiplicarlo por 2 o 3 cae en (R4) o en (R5) por lo que estará obligado a sumar 1, A también sumará 1s para mantenerlo en (R6) bajo la misma obligación, eventualmente B le dejará a A el 168 pues es un par y entonces A estará en posición ganadora. sacamos que:
(R7)56≤par≤166⇒posicion ganadora
Ya que al sumarle uno obtenemos a (R6). De aquí que:
(R8)19≤impar≤55⇒posicion ganadora
pues lo multiplicamos por 3 y va a caer en (R6)
Sacamos que:
(R9)28≤par≤54⇒posicion perdedora
pues al aplicarle alguna operación lo deja en (R7) o en (R8)
Luego tendremos que:
(R10)14≤num≤27⇒posicion ganadora
pues al multiplicarlo por 2 cae en (R9)
∙ 9 pierde pues se pueden obtener 10, 18, 27 pero 18, 27 ganan por R10 y el 10 lo multiplican por 2, cae en R9 que pierde entonces 10 gana, como se gana con cualquier operación, entonces 9 pierde.
∙ 7 pierde pues se pueden obtener 8, 14, 21 pero 14, 21 ganan por R10 y del 8 se obtiene el 9 sumando 1, 9 pierde entonces 8 gana, como se gana con cualquier operación, entonces 7 pierde.
∙ 5 pierde pues se pueden obtener 6, 10, 15 pero 15 gana por R10, ya sabíamos que 10 gana y de 6 se obtiene el 7 que pierde entonces 6 gana, como se gana con cualquier operación, entonces 5 pierde.
Del 3, 4, 6 se puede llegar a uno de 5, 7, 9 (los cuales pierden) con una operación entonces 3, 4, 6 ganan que son todos los resultados de las operaciones a partir del 2, por lo que el 2 deja posiciones ganadoras y pierde, Macaria es la que inicia con el 2 por lo tanto Macaria pierde y Polino es el que tiene estrategia ganadora (la cual es los pasos inversos a los rangos que di)
Polino debería estar muerto... jaja