Olimpiada de Matemáticas en Chihuahua: Problemas del día (7 de Octubre)

lunes, 7 de octubre de 2013

Problemas del día (7 de Octubre)

1.- Sean

$a,b,c$ números reales positivos tales que

$abc=1$ . Muestra que

$\frac{a^{3}}{a^{3}+2}+\frac{b^{3}}{b^{3}+2}+\frac{c^{3}}{c^{3}+2}\geq{1}$ y que

$\frac{1}{a^{3}+2}+\frac{1}{b^{3}+2}+\frac{1}{c^{3}+2}\leq{1}$

2.- Determina todas las parejas

$(a,b)$ de reales positivos tales que

$b<a$ y que satisfacen

$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}=134$ y

$a\sqrt{b}+b\sqrt{a}=126$ .

4 comentarios:

Luis Chacón8 de octubre de 2013, 8:26 p.m.
1. $\frac{a^3}{a^3+2}+\frac{b^3}{b^3+2}+\frac{c^3}{c^3+2}=\frac{a^3}{a^3+2abc}+\frac{b^3}{b^3+2abc}+\frac{c^3}{c^3+2abc}$
$=\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1$
La desigualdad es por útil. Por lo tanto:
$\frac{a^3}{a^3+2}+\frac{b^3}{b^3+2}+\frac{c^3}{c^3+2}\geq 1$

$\frac{1}{a^3+2}+\frac{1}{b^3+2}+\frac{1}{c^3+2}=\frac{(b^3+2)(c^3+2)+(a^3+2)(c^3+2)+(a^3+2)(b^3+2)}{(a^3+2)(b^3+2)(c^3+2)}$
$=\frac{a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+4(a^3+b^3+c^3)+12}{a^3b^3c^3+4(a^3+b^3+c^3)+2(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)+8}\leq 1$
$\Leftrightarrow (a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)+4(a^3+b^3+c^3)+12\leq a^3b^3c^3+4(a^3+b^3+c^3)+2(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)+8$
$\Leftrightarrow 4\leq a^3b^3c^3+(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)=1+(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3)$
$\Leftrightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3 \geq 3=3\sqrt[3]{a^6b^6c^6}$ y esto es cierto por MA-MG.
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Luis Chacón8 de octubre de 2013, 8:44 p.m.
2. $134=a\sqrt{a}+b\sqrt{b}=\sqrt{a}^3+\sqrt{b}^3=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)$

$126=a\sqrt{b}+b\sqrt{a}=(\sqrt{ab})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$

$8=134-126=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)-(\sqrt{ab})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$
$=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-2\sqrt{ab}+b)=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$

$8^3=512=134+3(126)=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)+3(\sqrt{ab})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$
$=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a+2\sqrt{ab}+b)=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^3$
$\Rightarrow 8=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
$\Rightarrow 8=(8)(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$
$\Rightarrow 1=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$
$\Rightarrow 1=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ porque b es menor a a, entonces la raíz de b es menor a la de a y la resta es positiva.
$8=\sqrt{a}+\sqrt{b}, 1=\sqrt{a}-\sqrt{b}\Rightarrow \frac{9}{2}=\sqrt{a}\Rightarrow a=\frac{81}{4}$
$1=\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{9}{2}-\sqrt{b}\Rightarrow \sqrt{b}=\frac{7}{2}\Rightarrow b=\frac{49}{2}$
Entonces $a=\frac{81}{4}, b=\frac{49}{4}$ y estos números satisfacen las ecuaciones.
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