martes, 22 de octubre de 2013

Problemas del día (21 de Octubre)

Perdón por la tardanza... aquí van los problemas:

1.- Decimos que un número natural $n$ es "charrua" sí satisface simultáneamente las siguientes condiciones:
I) Cada dígito de $n$ es mayor a $1$
II) Para cada 4 dígitos de $n$ su producto es un divisor de $n$
Demuestra que para cada número natural $k$ existe un número "charrua" con más de $k$ dígitos.

2.- El incírculo del triángulo $\triangle{ABC}$ tiene centro en $O$ y es tangente a los lados $BC,AC,AB$ en los puntos $X,Y,Z$, respectivamente. Las líneas $BO$ y $CO$ intersectan la línea $YZ$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente.
Demuestra que sí $XP=XQ$ entonces $\triangle{ABC}$ es isósceles.

2 comentarios:

  1. 1. El número $111...1$ con $k+1$ 1's cumple.
    Supongamos que el problema decía "cada dígito de $n$ es mayor a $1$".
    Nos fijamos en todos los números con sólo dígitos 3 ($333...3$). El producto de cuatro de sus dígitos siempre es $3^4$, si esto divide al número entonces es charrúa.
    Como hay una infinidad de números de la forma $111...1$, debe haber una infinidad que sean congruentes entre sí $mod 27$. Tomo al menor (digamos tiene $a$ dígitos) y se lo resto a cualquiera de los demás (digamos uno con $b$ dígitos), tengo
    $3^3 | (10^b+10^{b-1}+...+10+1)-(10^a+10^{a+1}+...+10+1)=10^b+10^{b-1}+...+10^{a+1}=10^{a+1}(10^{b-a-1}+...+10+1$
    $\Rightarrow 3^3 | 10^{b-a-1}+...+10+1$
    $\Rightarrow 3^4 | 3(10^{b-a-1}+...+10+1)=333...3$ con $b-a$ dígitos y es un número charrúa. Como hay infinitos posibles valores enteros de $b$, entonces $b-a$ puede ser arbitrariamente grande, entonces se puede encontrar uno mayor que $k$ para cada natural $k$.

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  2. 2. $CO$ es mediatriz de $XY$ porque es bisectriz de $\triangle CYX$ que es isósceles, entonces $YQ=QX$
    $BO$ es mediatriz de $XZ$, entonces $XP=ZP$.
    $ZP=XP=XQ=YQ$
    Sea $M$ el punto medio de $YZ$. $MP=MY-YP=MZ-QZ=MQ$, entonces también es punto medio de $PQ$ y $YZ,PQ$ tienen la misma mediatriz, que es $AO$.
    La mediatriz de $PQ$ pasa por $X$ porque $\triangle PQX$ es isósceles, entonces $A,O,X$ son colineales.
    $AX$ es altura porque $OX$ es perpendicular a $CB$ y $AO$ es bisectriz, entonces $AX$ es superlínea y $\triangle ABC$ es isósceles.

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