Perdón por la tardanza... aquí van los problemas:
1.- Decimos que un número natural n es "charrua" sí satisface simultáneamente las siguientes condiciones:
I) Cada dígito de n es mayor a 1
II) Para cada 4 dígitos de n su producto es un divisor de n
Demuestra que para cada número natural k existe un número "charrua" con más de k dígitos.
2.- El incírculo del triángulo △ABC tiene centro en O y es tangente a los lados BC,AC,AB en los puntos X,Y,Z, respectivamente. Las líneas BO y CO intersectan la línea YZ en los puntos P y Q, respectivamente.
Demuestra que sí XP=XQ entonces △ABC es isósceles.
1. El número 111...1 con k+1 1's cumple.
ResponderBorrarSupongamos que el problema decía "cada dígito de n es mayor a 1".
Nos fijamos en todos los números con sólo dígitos 3 (333...3). El producto de cuatro de sus dígitos siempre es 34, si esto divide al número entonces es charrúa.
Como hay una infinidad de números de la forma 111...1, debe haber una infinidad que sean congruentes entre sí mod27. Tomo al menor (digamos tiene a dígitos) y se lo resto a cualquiera de los demás (digamos uno con b dígitos), tengo
33|(10b+10b−1+...+10+1)−(10a+10a+1+...+10+1)=10b+10b−1+...+10a+1=10a+1(10b−a−1+...+10+1
⇒33|10b−a−1+...+10+1
⇒34|3(10b−a−1+...+10+1)=333...3 con b−a dígitos y es un número charrúa. Como hay infinitos posibles valores enteros de b, entonces b−a puede ser arbitrariamente grande, entonces se puede encontrar uno mayor que k para cada natural k.
2. CO es mediatriz de XY porque es bisectriz de △CYX que es isósceles, entonces YQ=QX
ResponderBorrarBO es mediatriz de XZ, entonces XP=ZP.
ZP=XP=XQ=YQ
Sea M el punto medio de YZ. MP=MY−YP=MZ−QZ=MQ, entonces también es punto medio de PQ y YZ,PQ tienen la misma mediatriz, que es AO.
La mediatriz de PQ pasa por X porque △PQX es isósceles, entonces A,O,X son colineales.
AX es altura porque OX es perpendicular a CB y AO es bisectriz, entonces AX es superlínea y △ABC es isósceles.