sábado, 5 de octubre de 2013

Problemas del día. (06 de octubre)

1. a) ¿Existen subconjuntos de dos elementos $A_1,A_2,A_3,...$ de los naturales tales que cada natural esté contenido en exactamente uno de ellos y que la suma de los elementos de $A_n$ sea $1391+n$ para todo entero $n\geq 1$?
b) ¿Existen subconjuntos de dos elementos $A_1,A_2,A_3,...$ de los naturales tales que cada natural esté contenido en exactamente uno de ellos y que la suma de los elementos de $A_n$ sea $1391+n^2$ para todo entero $n\geq 1$?

2. Una escalera eléctrica tiene la propiedad de que si $m$ personas están en ella, entonces su velocidad es $m^{-\alpha}$ donde $\alpha$ es una constante positiva. Supongamos que $n$ personas quieren subir utilizando la escalera. Si $l$ es la longitud de la escalera, ¿cuál es la menor cantidad de tiempo necesario para que las $n$ personas suban?

1 comentario:

  1. Sugerencias:
    1. a) No existen. Fijarse en la suma de los elementos.
    b) Sí existen. Hacer la construcción.

    2. Hay varios casos dependiendo del valor de $\alpha$, se pueden ver suponiendo que las personas suben de diferentes maneras.
    Fijarse en el tiempo total $t_i$ en que hubo $i$ personas en la escalera, y en las distancias $l_i$ que avanzó la escalera mientras había $i$ personas en ella.

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