Solución 23/oct (Luis Carlos)

Solución números viernes (Luis Carlos)

Problema del día viernes. Numeros

Un entero positivo $n$ es divertido si para cada divisor $d$ de $n$, $d+2$ es un numero primo. Encuentra todos los números divertidos con la mayor cantidad posible de divisores.

Solucion al problma de hector

Solucion al problema de geo de panda

Problema del dia 23/oct

Se colorea cada número del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} de rojo o de azul, de acuerdo con las siguientes reglas:

• El 4 se colorea de rojo y por lo menos uno de los otros números se colorea de azul.
• Si dos números x, y se colorean de distinto color y x + y £ 8, entonces el número x + y se colorea de azul.
• Si dos números x, y se colorean de distinto color y x × y £ 8, entonces el número x × y se colorea de rojo.

Hallar todas las coloraciones posibles con estas reglas

Un problema de IMO con geometria analitica

Me gustaria que intentaran este problema de la IMO de 1988 con geometría normal, antes de que yo les ponga la solución con analitica.

Uno sencillo de numeros

Sean $k_1,k_2,...,k_r$ enteros positivos tales que: $k_1+k_2+...+k_r=n$
Demuestra que:
$k_1!k_2!...k_r! | n!$

Solucion al problema de alonso

Geometria 19

Given a triangle satisfying . The incircle of triangle has center and touches the sides and at the points and , respectively. Let and be the reflections of the points and with respect to . Prove that the points , , , lie on one circle.

Solución del problema del 16/10

Problema del día (Pepe)

En el plano hay 10 gángsters con una pistola cada uno. Cada pistola tiene 1 bala.  Todas las distancias entre gángsters son distintas. Cada gangster le apunta al gángster que le quede más cerca y disparan exactamente al mismo tiempo (todos tienen buena autoestima y ninguno contempla el suicidio como una opción viable). ¿Cual es la máxima cantidad de gángsters que pueden sobrevivir? (Sí te disparan te mueres porque los gángsters no fallan sus disparos y las balas explotan dentro de ti pero no causan daños colaterales (los gángsters cuentan como puntos en el plano, no tienen forma de circulitos ni humanos o algo así))

Problema del día Viernes.Combinatoria

Nos dan un tablero de 100x100. Dos cuadros del tablero se consideran adyacentes si tienen un lado en común. Al inicio todos los cuadros del tablero son blancos.

a)¿Sera posible colorear una cantidad impar de cuadros de tal forma que cada cuadro coloreado tenga un numero impar de cuadros adyacentes coloreados?

b) ¿Sera posible colorear algunos cuadros de tal forma que un numero impar de cuadros tengan exactamente cuatro cuadros adyacentes coloreados y que todos los demás cuadros coloreados tengan exactamente 2 cuadros adyacentes coloreados?

c)¿Sera posible colorear algunos cuadros de tal forma que una cantidad impar de ellos tengan exactamente dos cuadros adyacentes coloreados y que todos los demás cuadros coloreados tengan exactamente cuatro cuadros adyacente coloreados?

Solucion al problema de quique

Problemas de Geo y Combi

Me faltó poner 2 problemas en esta semana y la anterior, ay van 3 problemas:

1) Dado cualquier conjunto de 9 puntos en el plano no hay 3 de ellos colineales, demuestra que para cada punto P del conjunto, el número de triángulos con sus vértices en los otros 8 puntos y que contienen a P en su interior es par

2) Sea $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro. Considera un círculo que está dentro del circuncírculo de $\triangle{ABC}$ y lo toca (es tangente a él), y además toca los lados $CA$ y $BC$ del $\triangle{ABC}$ en los puntos $D$ y $E$, respectivamente. Demuestra que el punto $I$ es el punto medio del segmento $DE$.

Este problema les sirve de hint para el que sigue

3) Sea $\Omega$ el circuncírculo del $\triangle{ABC}$. El círculo $w$ es tangente a los lados $AC$ y $BC$, y es internamente tangente al círculo $\Omega$ en el punto $P$. Una línea paralela a $AB$ intersectando el interior del $\triangle{ABC}$ es tangente a $w$ en $Q$. Demuestra que $\angle{ACP}=\angle{QCB}$

PROBLEMA DEL DIA 16 /10

Sea ABC un triángulo y D, E, F los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los lados BC, CA, AB respectivamente. Sea P el segundo punto de corte de la circunferencia inscrita y la recta CF. Se sabe que el cuadrilátero ABPE es cíclico. Demostrar que DP es paralelo a AB.

Solución problema 14/10 (Luis Carlos)

Problema álgebra 15/10 (Luis Carlos)

Solución problemitas geometría (Luis Carlos)

Problema

Probar que existen cadenas tan grandes como uno quiera de números consecutivos en las que cada número es divisible por el cuadrado de un entero mayor que 1.

Como siempre recomiendo que si no conocen el problema lo intenten antes de seguir leyendo, si no lo pueden resolver, recuerden el teorema chino del residuo el cual suele ser util en ciertos problemas con congruencias

Solución problema 10/10 de Antonio (Luis Carlos)

Según yo, le avancé bastante, pero no sé si hay algún teorema mágico que lo acabe o aún me falta algo de trabajo.

Edición: Ya, ya lo acabé. Antonio culo, no lo checaste.

Solución al problema de Antonio del 10/10

Problema Facil: propiedades del triangulo

Dado un triangulo ABC. Sea M el punto medio del lado BC. H el ortocentro del triángulos ABC. $\omega$ el circuncirculo de ABC.
Sea H' el reflejo de H sobre BC.
Sea H'' el reflejo de H sobre M.
Demostrar:
i) $H' \in \omega$
ii) $H'' \in \omega$
iii) H'' es diametralmente opuesto al vertice A

Solución del problema del 9 de Octubre

Solucion al problema de alonso

Solución al problema de quique sobre primos

Solucion al problema de quique del 9 de octubre

Problema del día. Geometría.

Sea $ABC$ un triangulo escaleno, $I$ el incentro y $O$ el circuencentro. $X$, $Y$ y $Z$ los puntos de tangencia del incirculo en los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. $E_a$ el excentro relativo al lado $BC$, analogamente se definen $E_b$ y $E_c$. Sea $M_a$ el punto medio de $E_bE_c$ y se definen analogamente los puntos $M_b$ y $M_c$.
Demuestra que $XM_a$, $YM_b$ y $ZM_c$ concurren en un punto, y que ademas este punto esta en la recta $IO$.

Solución del problema de Héctor