3er examen selectivo, Colima 2011

Problema 1.
Encuentre todos los enteros $n \geq 3$, para los que existe un $n-agono$ que tenga todos sus lados de la misma longitud y con todos sus angulos internos iguales a 120° o a 240°.

Problema 2.
Sea $ABC$ un triangulo acutangulo con $AB \neq AC$. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ sobre $BC$. Sea $P$ sobre la recta $AB$ con $B$ entre $A$ y $P$ y sea $Q$ sobre la recta $AC$ con $C$ entre $A$ y $Q$. Si $BCQP$ es ciclico y $DP=DQ$, muestra que $D$ es el circuncentro del $\triangle APQ$.

Problema 3.
Sea $m$ un entero impar fijo. Muestra que para cada entero positivo $k$ existe un entero positivo $n$ tal que $2^k$ divide a $n^n - m$.

Problema 4.
Considera un entero $n \geq 2$. Supon que $n$ puntos blancos y $n$ puntos negros se colocan sobre una circunferencia. Supon tambien que se trazan $2n$ segmentos usando estos puntos de la siguiente manera:
(1) Cada segmento tiene por extremo un punto blanco y un punto negro.
(2) Al recorrer los segmentos en orden, es posible completar un ciclo que pase por cada uno de los $2n$ puntos uno y solamente una vez.
Muestre que sin importar la forma en que los $2n$ puntos se coloquen sobre la circunferencia es posible dibujar los segmentos de manera que satisfagan las dos condiciones anteriores y de manera que haya a lo mas $n-1$ intersecciones entre los segmentos que se dibujen.
Nota: Un extremo comun de dos segmentos no se considera como un punto de interseccion.

Problema del Día (16 de Ene)

Determina todos los enteros positivos que son primos relativos a todos los terminos de la secuencia infinita:
$$a_{n}=2^{n}+3^{n}+6^{n}-1,\ n\geq 1.$$

Problema del Día (15 de Ene)

Considera cinco puntos $A,B,C,D,E$ tales que $ABCD$ es un paralelogramo y $BCED$ es un cuadrilatero ciclico. Sea  $\ell$ una linea que pasa por $A$. Suponga que $\ell$ intersecta el interior del segmento $DC$ en $F$ e intersecta la linea $BC$ en $G$. Suponga tambien que $EF=EG=EC$. Prueba que $\ell$ es la bisectriz del angulo $\angle DAB$

Problema del Día (14 de Ene)

Un mago tiene $100$ cartas numeradas del $1$ al $100$ (cada carta con un numero distinto). El las pone en tres cajas, una roja, una azul y una blanca, cada caja contiene al menos una carta. Un miembro de la audiencia toma dos cartas de cajas diferentes y le dice al mago su suma. Dada esta información, el mago localiza la caja de la que no se tomó ninguna carta.

¿De cuantas maneras se pueden acomodar las cartas en las tres cajas de tal manera que el truco funcione?

Problema del Día (13 de Ene)

Determina todas las parejas $(x,y)$ de enteros positivos tales que $x^{2}y+x+y$ es divisible entre $xy^{2}+y+7$

Problema del Día (12 de Ene)

En un triangulo $ABC$ la bisectriz del ángulo $\angle BCA$ corta a la circunferencia circunscrita en $R$ ($R$ diferente de $C$), a la mediatriz de $BC$ en $P$ y a la mediatriz de $AC$ en $Q$. El punto medio de $BC$ es $K$ y el punto medio de $AC$ es $L$. Demostrar que los triángulos $RPK$  y $RQL$ tienen áreas iguales.

Problema del Día (11 de Ene)

Sean $a,b,c$ reales positivos tales que $abc=1$. Prueba que:
$$\frac{1}{a^{3}\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^{3}\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^{3}\left(a+b\right)}\geq\frac{3}{2}.$$

Problema del Día (10 de Ene)

Se tienen $27$ cubos iguales, de los cuales $9$ están pintados de de rojo, $9$ de verde y $9$ de azul. ¿Es posible formar con ellos un cubo de $3\times 3\times 3$ de tal manera que cada piza de $3\times 3 \times 1$ tenga exactamente dos colores?

Por cierto, quizás algunos días no pueda subir el problema del día hasta en la tarde porque ya entré a la escuela.

Problema del día (9 de Ene)

Sea $n$ un entero positivo y sean $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots,a_{k}$ $\left( k\ge 2\right)$ enteros distintos en el conjunto $\{ 1,2,\ldots ,n \}$ tales que $n$ divide a $a_{i}(a_{i+1}-1)$ para $i = 1,2,\ldots,k-1$. Demuestra que $n$ no divide a $a_{k}(a_{1}-1).$

Problema del Día (8 de Ene)

Sea $ABC$ un triangulo con $AB=AC$. Las bisectrices de $\angle CAB$ y $\angle ABC$ cortan a los lados $BC$ y $CA$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sea $K$ el incentro del triangulo $ADC$. Suponga que $\angle BEK = 45^\circ$. Encuentra todos los valores posibles de $\angle CAB$.

Problema del Día (7 de Ene)

(i) Si $x,y,z$ son tres números reales, todos diferentes de 1, tales que $xyz=1$, entonces prueba que:
$$\frac{x^{2}}{\left(x-1\right)^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(y-1\right)^{2}}+\frac{z^{2}}{\left(z-1\right)^{2}}\geq 1$$
(ii) Prueba que la igualdad se alcanza para infinitas ternas de números racionales $x,y,z$.

Problema del Día (6 de Ene)

Sea $n$ un entero positivo. Cada punto $(x,y)$ en el plano, donde $x,y$ son no-negativos con $x+y \textless n$, se colorea de rojo o azul, bajo la siguiente condición: si un punto $(x,y)$ es rojo, tambien lo son todos los puntos $(x^{\prime},y^{\prime})$ con $x^{\prime} \leq x$ y $y^{\prime} \leq y$. Sea $A$ el número de formas de escoger $n$ puntos azules con coordenadas $x$ distintas, y sea $B$ el número de formas de escoger $n$ puntos azules con coordenadas $y$ distintas. Prueba que $A=B$.

256 Entradas!!

Con esta llegamos a las $256=2^8$ entradas del blog, y para los que creian que 2011 es primo, pues no, es potencia de 2, $2^8=2011$ ... en base 5 jeje.

Aprovecho esta entrada para avisarles que puse una barra de comentarios recientes, así ya no tienen que estar revisando en todos lados para ver si hay comentarios nuevos, lo malo es que en la barra no se ve el $\LaTeX{}$.

Problema del Día (5 de Ene)

Sea $d$ cualquier entero positivo diferente de $2,5$ o $13$. Muestra que puedes encontrar $a,b$ distintos en el conjunto $\{2,5,13,d\}$ tales que $ab-1$ no es un cuadrado perfecto.

Problema del Día (4 de Ene)

Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ y $P$ un punto en el interior del triángulo. Las rectas $AP,BP$ y $CP$ cortan de nuevo a $\Gamma$ en los puntos  $K,L$ y $M$, respectivamente. La recta tangente en $C$ corta a la recta $AB$ en $S$. Si se tiene que $SC=SP$, demuestre que $MK=ML$.

Problema del Día (3 de Ene)

Sea $n \geq 3$ un entero. Sean $t_1,t_2,\cdots,t_n$ reales positivos tales que:

$$n^{2}+1 >\left( t_{1}+t_{2}+...+t_{n}\right)\left(\frac{1}{t_{1}}+\frac{1}{t_{2}}+...+\frac{1}{t_{n}}\right)$$


Prueba que $t_i,t_j,t_k$ son los lados de un triangulo para toda $i,j,k$ con $1\leq i \textless j \textless k\leq n$.

Problema del dia (2 de Ene)

Se tiene un grafo $G$ con $n$ vértices, todos pintados de blanco o de negro. En cada paso, se escoge un vértice y se cambia el colo de ese vértice y todos los adyacentes a él. Demuestra que si la gráfica  comienza completamente blanca, se puede hacer completamente negra.

Problema del día (1 de Ene)

Primero que nada felíz año $2011$!!
Busque un problema bonito que involucrara a $2011$, pero no encontré ninguno bonito. Así que aqui va este otro.

Si $a$ y $b$ son enteros positivos tales que $3a^2+a=4b^2+b$, prueba que $a-b$ es un cuadrado perfecto.