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viernes, 10 de septiembre de 2010
Problema del dia: 10 de Septiembre
A cada vértice de un cubo, se le asigna el numero 1 o el numero -1. Ahora a cada cara se le asigna el producto de los 4 vértices. Cuales son todos los posibles valores de la suma de estos 14 números (hay 6 caras y 8 vértices)?
Se me complica un poco la organización de datos, así que tuve que dibujar el cubo. http://s743.photobucket.com/albums/xx73/luiscgarcia/10%20sep%20ommch/?action=view¤t=cuboproblema10sep.png Basados en el desarrollo del cubo, y con la información dada le podemos dar un valor a cada vértice, lo que nos daría las caras, y en consecuencia, la suma de éstas. Por ejemplo, si tenemos todos los vértices con valor -1, entonces todas las caras tendrán un valor de 1 c/u (esto porque al ser las cuatro esquinas negativas quedaría -1x-1x-1x-1, o -1^4, lo cual nos da +1), y el total será de -2: A=-1 B=-1 C=-1 D=-1 F=-1 G=-1 H=-1 Entonces: DCHG=1, CBGF=1 HGEF=1 HEDA=1 EFAB=1 ABDC=1 Y luego: -8+6=-2 Ahora, si todos los vértices tienen un valor de +1, las caras también y el total sería de 14: A=1 B=1 C=1 D=1 F=1 G=1 H=1 Después: DCHG=1 CBGF=1 HGEF=1 HEDA=1 EFAB=1 ABDC=1 Entonces: 8+6=14 Al ser todos positivos, éste es el valor máximo. El valor mínimo queda cuando todos los vértices, excepto A y G (pongo A y G porque en el diagrama éstos son los más fáciles de localizar, pero pudieran ser cualquier otros dos vértices, con tal de que cumplan la condición de no coincidir en ninguna cara, como seria el caso de E y C, ó F y D), son negativos, y en dado caso sería -12: A=1 B=-1 C=-1 D=-1 F=-1 G=1 H=-1 DCHG=-1 CBGF=-1 HGEF=-1 HEDA=-1 EFAB=-1 ABDC=-1 (-8+2)+(-6)=-12 Ese es mi avance hasta el momento, después subo el resto.
@Miguel Contaste muy pocos casos, por ejemplo, si son 2 1´s negativos hay varias formas de acomodar esos 2, como coincidiendo en una cara, en dos caras, o no coincidiendo.
@Luis Carlos Creo que Miguel si tomo en cuenta los tres acómodos que mencionas. Nota que tiena A= 6, B = 2, C=-2, A = suma cuando los dos negativos son adjacentes (coincidiendo en dos caras), B = suma cuando los dos negativos coinciden en una sola cara. C = suma cuando no coinciden en ninguna cara.
En caso de que todos fueran positivos, seria 14 Si tenemos un vertice negativo, afectaria 3 caras, haciendolas negativas y nos daria 9 Si tenemos dos vertices negativos, pueden ser de diferentes formas, ya sea opuestos, lo cual daria -2, pueden ser de la misma linea, lo cual daria 6 o pueden ser de la misma cara, pero contrarios, lo cual nos daria 2 En caso de tener tres vertices negativos, se pueden acomododar de distintas formas los vertices, pero todos resultan en 2 Cuando tenemos cuatro vertices negativos, se pueden poner los 4 en la misma cara, lo cual daria 6, se pueden poner opuestos, lo que daria 2, o se pueden poner en pares en la misma recta, lo cual da -2 En caso de tener 5 vertices negativos, como los acomodes resulta -2 Cuando tenemos 6 vertices negativos las formas distintas de acomodarlos darian -2, -6 y -10 Con 7 vertices negativos, solo hay una forma de acomodarlos, y la suma es -6 Por ultimo, tenemos los 8 vertices negativos, lo cual da como resultado -2
Yo lo resolví parecido a Miguel Segovia, pero sólo consideré los casos hasta 4 vértices negativos; pues el caso de 5,6,7,8 vértices negativos equivale a 3,2,1,0 vértices positivos con sólo cambiar el signo de la suma de los vértices. La suma de las caras no se altera porque en un producto de 4 factores si cambias el signo de todos los factores no se altera el signo del producto. Total, las sumas posibles que me salieron son: 14,6,2,-2,-6 y -10
no entiendo eso de 10-1 osea quiere decir 10-1 = 9 ???
ResponderBorrary las caras serian (10-1)^4 = 9^4 = 6561 ???
o como esta eso?
A cada vertice se le asigna el numero 1(uno) o el numero -1 (menos uno)
ResponderBorrarSe me complica un poco la organización de datos, así que tuve que dibujar el cubo.
ResponderBorrarhttp://s743.photobucket.com/albums/xx73/luiscgarcia/10%20sep%20ommch/?action=view¤t=cuboproblema10sep.png
Basados en el desarrollo del cubo, y con la información dada le podemos dar un valor a cada vértice, lo que nos daría las caras, y en consecuencia, la suma de éstas.
Por ejemplo, si tenemos todos los vértices con valor -1, entonces todas las caras tendrán un valor de 1 c/u (esto porque al ser las cuatro esquinas negativas quedaría -1x-1x-1x-1, o -1^4, lo cual nos da +1), y el total será de -2:
A=-1
B=-1
C=-1
D=-1
F=-1
G=-1
H=-1
Entonces:
DCHG=1,
CBGF=1
HGEF=1
HEDA=1
EFAB=1
ABDC=1
Y luego:
-8+6=-2
Ahora, si todos los vértices tienen un valor de +1, las caras también y el total sería de 14:
A=1
B=1
C=1
D=1
F=1
G=1
H=1
Después:
DCHG=1
CBGF=1
HGEF=1
HEDA=1
EFAB=1
ABDC=1
Entonces:
8+6=14
Al ser todos positivos, éste es el valor máximo.
El valor mínimo queda cuando todos los vértices, excepto A y G (pongo A y G porque en el diagrama éstos son los más fáciles de localizar, pero pudieran ser cualquier otros dos vértices, con tal de que cumplan la condición de no coincidir en ninguna cara, como seria el caso de E y C, ó F y D), son negativos, y en dado caso sería -12:
A=1
B=-1
C=-1
D=-1
F=-1
G=1
H=-1
DCHG=-1
CBGF=-1
HGEF=-1
HEDA=-1
EFAB=-1
ABDC=-1
(-8+2)+(-6)=-12
Ese es mi avance hasta el momento, después subo el resto.
si es asi como esta alla arriba, ps las posibles sumas son entre los 8 9s y los 6 6561s:
ResponderBorrar..|6,561|13,122|19,683|26,244|32,805|39,366
9.|6,570|13,131|19,692|26,253|32,814|39,375
18|6,579|13,140|19,701|26,262|32,823|39,384
27|6,588|13,149|19,710|26,271|32,832|39,393
36|6,597|13,158|19,719|26,280|32,841|39,402
45|6,606|13,167|19,728|26,289|32,850|39,411
54|6,615|13,176|19,737|26,298|32,859|39,420
63|6,624|13,185|19,746|26,307|32,868|39,429
72|6,633|13,194|19,755|26,316|32,877|39,438
esos son todos los posibles valores
o estaba escribiendo cuando me contestaron, a ok, gracias, no le hagan caso a esa respuesta XD
ResponderBorrarYo lo dividi por casos segun los 1 negativos que tuvieran en sus vertices y dibuje cubitos
ResponderBorrarcaso 1- sin 1 negativo = 14
caso 2- un 1 negativo = 6
caso 3- dos 1 negatvos= habia varios acomodos
A=6
B=2
C=-2
caso 4- tres 1 negativos= habia varios acomodos pero todos dieron como resultado 2
caso 5- cuatro 1 negativos= habia varios acomodos
A,B,C= 6
D= -2
E= 2
caso 6- cinco 1 negativos = -2
ResponderBorrarcaso 5- seis 1 negativos =
A= -2
B= -6
C= -10
caso 8- siete 1 negativos = -6
caso 9- puros 1 negativos = -2
entonces los posibles valores de la suma son:
14,6,2,-2,-6,-10
Error, el mínimo no es -12, sino -10. Al momento de sumar los vértices sume -8+2, y es -6+2.
ResponderBorrar@Miguel
ResponderBorrarContaste muy pocos casos, por ejemplo, si son 2 1´s negativos hay varias formas de acomodar esos 2, como coincidiendo en una cara, en dos caras, o no coincidiendo.
@Luis Carlos
ResponderBorrarCreo que Miguel si tomo en cuenta los tres acómodos que mencionas. Nota que tiena A= 6, B = 2, C=-2, A = suma cuando los dos negativos son adjacentes (coincidiendo en dos caras), B = suma cuando los dos negativos coinciden en una sola cara. C = suma cuando no coinciden en ninguna cara.
En caso de que todos fueran positivos, seria 14
ResponderBorrarSi tenemos un vertice negativo, afectaria 3 caras, haciendolas negativas y nos daria 9
Si tenemos dos vertices negativos, pueden ser de diferentes formas, ya sea opuestos, lo cual daria -2, pueden ser de la misma linea, lo cual daria 6 o pueden ser de la misma cara, pero contrarios, lo cual nos daria 2
En caso de tener tres vertices negativos, se pueden acomododar de distintas formas los vertices, pero todos resultan en 2
Cuando tenemos cuatro vertices negativos, se pueden poner los 4 en la misma cara, lo cual daria 6, se pueden poner opuestos, lo que daria 2, o se pueden poner en pares en la misma recta, lo cual da -2
En caso de tener 5 vertices negativos, como los acomodes resulta -2
Cuando tenemos 6 vertices negativos las formas distintas de acomodarlos darian -2, -6 y -10
Con 7 vertices negativos, solo hay una forma de acomodarlos, y la suma es -6
Por ultimo, tenemos los 8 vertices negativos, lo cual da como resultado -2
ya lo termine mas al rato subo mi solucion despues de regresar de mis entrenamientos haha!
ResponderBorrarYo subí mi respuesta hoy como a las 3 de la mañana, y ya no aparece, ¿alguien sabe que pudo haber pasado?
ResponderBorrarahora si, lo q hize fue dicidirlo en casos, pero de cuanto sumaban las aristas. vi que las posibles sumas podian ser +8,+6,+4,+2,0,-2,-4,-6,-8.
ResponderBorrarahora fui viendo por cada caso cuanto valian sus caras, vi q si era + o - cualquier numero la suma de las aristas era la misma.
entonces para el 8 las caras valen 6 entonces:
+8+6=+14
-8+6=-2
sumas posibles: 14 y -2
para el 6 las caras valen 0:
+6+0=+6
-6+0=-6
sumas posibles: 6 y -6
para el 4 las caras valen +2,-2, y -6:
+4+2=+6
+4-2=+2
+4-6=-2
-4+2=-2
-4-2=-6
-4-6=-10
sumas posibles: 6,2,-2,-6 y -10
para el 2 las caras valen 0:
+2+0=+2
-2+0=-2
sumas posibles: +2 y -2
para el 0 las caras valen +6:
0+6=+6
sumas posibles:+6
sumas posibles totales: +14,+6,+2,-2,-6 y -10
+14,+6,+2,-2,-6,-10
ResponderBorrarHice lo mismo, de dividir en casos.
Caso 1-> Todos los vértices negativos= -2
Caso 2-> Todos positivos= +14
Caso 3-> 1 negativo= +6
Caso 4-> 1 positivo= -6
Caso 5-> 2 negativos:
a)+6
b)+2
c)-2
Caso 6-> 2 positivos:
a)-2
b)-6
c)-10
Caso 7-> 3 negativos: Hay varios acomodos pero todos dan +2
Caso 8-> 3 positivos: hay varios acomodos pero todos dan -2
Caso 9-> 4 negativos, 4 positivos:
a),b),c) +2
d)-6
c) +6
:)
Aqui esta mi solución, si me faltaron casos por ver o si hice algunos calculos mal me avisan
ResponderBorrarhttp://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/ProblemaBlog100910/?action=view¤t=ProblemaBlog100910parte1.jpg
http://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/ProblemaBlog100910/?action=view¤t=ProblemaBlog100910parte2.jpg
Yo lo resolví parecido a Miguel Segovia, pero sólo consideré los casos hasta 4 vértices negativos; pues el caso de 5,6,7,8 vértices negativos equivale a 3,2,1,0 vértices positivos con sólo cambiar el signo de la suma de los vértices. La suma de las caras no se altera porque en un producto de 4 factores si cambias el signo de todos los factores no se altera el signo del producto. Total, las sumas posibles que me salieron son: 14,6,2,-2,-6 y -10
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