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martes, 28 de septiembre de 2010
Problema del dia (27 Sep)
Un cuadrilatero convexo se divide en cuatro triangulos por sus diagonales. Demostrar que el producto de las areas de una pareja de triangulos que tienen solo un vertice en comun es igual al producto de las areas de los otros dos triangulos.
Estan bien ambas soluciones, muy bien por los dos que continuan trabajando.
Aunque es un problema sencillo, noten en la solución de Luis como muchas veces agregar trazos clave / prolongar líneas / proyectar cosas simplifica muchos problemas.
Sea ABCD el cuadrilátero e I el punto de intersección de sus diagonales. El triángulo ABI y el triángulo BCI tienen la misma altura sobre la diagonal AC por lo que sus áreas están en la misma razón que sus bases: $$\frac{(ABI)}{(BCI)}=\frac{AI}{CI}$$; también, por la misma razón: $$\frac{(CDI)}{(ADI)}=\frac{CI}{AI}$$; Ahora multiplicamos miembro a miembro la 2 igualdades anteriores: $$\frac{(ABI)x(CDI)}{(BCI)x(ADI)}=\frac{AIxCI}{CIxAI}=1$$ Por lo tanto los productos de las áreas de los triángulos opuestos son iguales.
el cuadrilatero es ABCD, llamamos a la interseccion de diagonales M y $ \angle AMB = \alpha$ y $ \angle BMC = 180- \alpha$
ResponderBorrarPD $(AMB) \times (DMC) = (AMD) \times (BMC)$
$(AMB) = \frac{AM \times BM \times sen \alpha}{2}$
$(DMC) = \frac{DM \times CM \times sen \alpha}{2}$
$(AMD) = \frac{AM \times DM \times sen(180- \alpha )}{2}$
$(BMC) = \frac{BM \times CM \times sen(180- \alpha )}{2}$
como $sen \alpha = sen(180- \alpha )$, los multiplicamos y tenemos
$(AMB) \times (DMC) ? (AMD) \times (BMC)$
$ \frac{AM \times BM \times CM \times DM \times sen^2 \alpha}{4} ? \frac{AM \times BM \times CM \times DM \times sen^2 \alpha}{4}$
y esas dos cosas si son iguales
http://s803.photobucket.com/albums/yy320/alonso_0293/?action=view¤t=27desep.jpg
ResponderBorrarLuis Alonso
Estan bien ambas soluciones, muy bien por los dos que continuan trabajando.
ResponderBorrarAunque es un problema sencillo, noten en la solución de Luis como muchas veces agregar trazos clave / prolongar líneas / proyectar cosas simplifica muchos problemas.
Sea ABCD el cuadrilátero e I el punto de intersección de sus diagonales. El triángulo ABI y el triángulo BCI tienen la misma altura sobre la diagonal AC por lo que sus áreas están en la misma razón que sus bases:
ResponderBorrar$$\frac{(ABI)}{(BCI)}=\frac{AI}{CI}$$;
también, por la misma razón:
$$\frac{(CDI)}{(ADI)}=\frac{CI}{AI}$$;
Ahora multiplicamos miembro a miembro la 2 igualdades anteriores:
$$\frac{(ABI)x(CDI)}{(BCI)x(ADI)}=\frac{AIxCI}{CIxAI}=1$$
Por lo tanto los productos de las áreas de los triángulos opuestos son iguales.
tenemos el cuadrilatero ABCD, la intersección de sus diagonales es N
ResponderBorrar(AN)(NB)(sen*)(CN)(ND)(sen*)= (BN)(NC)(sen*)(AN)(ND)(sen*)
que como son los mismos terminos pero en desorden (lo cual no importa) se cumple.
ammm como que se borró todo lo de enmedio ¬¬....
ResponderBorrar<ANB=* sen*=sen(180-*)
2(ABN)=(AN)(BN)sen*
2(BCN)=(BN)(CN)sen*
2(CDN)=(CN)(DN)sen*
2(DAN)=(DN)(AN)sen*
sustituimos en lo que nos pide el problema y nos queda lo que si se publicó en el comment de arriba jeje
Aquí esta mi solución, ahí disculpen mi tardanza
ResponderBorrarhttp://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/Problema%20Blog%20270910/?action=view¤t=ProblemaBlog27-09-10.jpg
http://picasaweb.google.com/lh/photo/nqBuletUQGEbm1Bh1aq75WzY3-qDUM5OlqEu_XVViso?feat=directlink
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