Se que es muy noche pero aqui va el problema del dia
¿Para cuántas parejas de enteros $(n,r)$ con $0\leq r \leq n \leq 80$ se tiene que $\binom{n}{r} \equiv 2 mod 3$? Calcular la suma módulo 3 de todas las $\binom{n}{r}$ con $0\leq r \leq n \leq 80$.
xk no se ve el latex??
ResponderBorrarno le entiendo :S
que raro que no se vea el LaTeX, de hecho ahorita tampoco puedo verlo...
ResponderBorrarA ver si se entiende sin LaTeX:
ResponderBorrar¿Para cuántas parejas de enteros (n,r) con 0<=r<=n<=80 se tiene que nCr = 2 mod 3? Calcular la suma módulo 3 de todas las nCr con 0<=r<=n<=80$.
(nCr es el coeficiente binomial n en r)
Parece que hay problemas con la pagina de donde saque el script de LaTeX -.-
ResponderBorrarPues en este problema se me ocurre ver cuales combinaciones cumplen congruencia 2 modulo 3 desde "0 en 0" hasta "80 en 80" tan pronto vea una manera rapida de sacar esto, pongo la solucion.
ResponderBorrarparte 1
ResponderBorraresta un poco feo el triangulo jeje
http://s803.photobucket.com/albums/yy320/alonso_0293/?action=view¤t=26desep1.jpg
parte 2
http://s803.photobucket.com/albums/yy320/alonso_0293/?action=view¤t=26desep2.jpg
parte 3
http://s803.photobucket.com/albums/yy320/alonso_0293/?action=view¤t=26desep3.jpg
Luis Alonso
tambien use el triangulo de pascal:
ResponderBorrar-en los primeros 9 renglones (del 0 al 8) hay 10 nimeros congruentes a 2 mod 3.
-luego del 0 al 17 se repite 3 veces ese tringulo, entonces hay 30 numeros congruentes.
-del 0 al 26 hay 5 tringulos como el primero (10 numeros congruentes) y hay uno mas con 26 nimeros conguentes, entonces del 0 al 26 hay 76 numeros congruentes.
-del 0 al 53 hay 3 triangulos como el del 0 al 26, entonces del 0 al 53 hay 228 numeros congruentes 2 mod 3
-del renglon 54 al 80, se forman 2 tringulos como el del 0 al 26 (76 numeros cong. 2 mod 3 cada uno), y se forma un triangulo nuevo que tiene 5 triangulos con 26 numeros cong cada uno y otro triangulo como el del 0 al 8.
entonces del 54 al 80 hay 292 numeros cong. 2 mod 3.
y del 0-80 hay 520 numeros, que son 520 parejas (n.r) que son congruentes a 2 mod 3
mañana escaneo mi dibujito :)
Vemos que la suma de $\binom{n}{1} + \dots \binom{n}{n} = 2^n$.
ResponderBorrarEstas son dos formas de ver cuantos subconjuntos tiene un conjunto, por eso son iguales.
Asi que si queremos ver hasta n=80, tenemos que sumar:
$2^0 + 2^1 + \dots + 2^80$
La suma de pontencias de 2 consecutivas es la siguiente potencia menos uno. Esto se puede demostrar con induccion.
$2^0 + 2^1 + \dots + 2^{80} = 2^{81}$
En modulo 3 vemos que las potencias pares de 2 son $\equiv 1 mod 3$ y las impares $\equiv 2 mod 3$
$2^{81} \equiv 2 mod 3$
y el otro aun no lo hago...
alberto.. dices que $\sum_{i=0}^{80}2^{i}=2^81$, pero en realidad esto es $2^{81}-1$ como lo mencionaste en el enunciado anterior a la expresión... tomando esto en cuenta, el resultado final cambia.
ResponderBorrar$\sum_{i=0}^{80}2^{i}=2^{81}$, corrijo..
ResponderBorrarhttp://picasaweb.google.com/lh/photo/mIfXvlaLD__hChrRiWZzr2zY3-qDUM5OlqEu_XVViso?feat=directlink
ResponderBorrarese es mi triangulito :)
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorraremm, si me equivoque... aqui esta todo otra vez
ResponderBorrarVemos que la suma de $\binom{n}{1} + \dots \binom{n}{n} = 2^n$.
Estas son dos formas de ver cuantos subconjuntos tiene un conjunto, por eso son iguales.
Asi que si queremos ver hasta n=80, tenemos que sumar:
$2^0 + 2^1 + \dots + 2^{80}$
La suma de pontencias de 2 consecutivas es la siguiente potencia menos uno. Esto se puede demostrar con induccion.
$2^0 + 2^1 + \dots + 2^{80} = 2^{81} -1$
En modulo 3 vemos que las potencias pares de 2 son $\equiv 1 mod 3$ y las impares $\equiv 2 mod 3$
$2^{81} \equiv 2 mod 3$
$2^{81} -1 \equiv 2-1 \equiv 1 mod 3$