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domingo, 26 de septiembre de 2010
Problema del dia (26 de Sep)
Se que es muy noche pero aqui va el problema del dia
¿Para cuántas parejas de enteros (n,r) con 0≤r≤n≤80 se tiene que (nr)≡2mod3? Calcular la suma módulo 3 de todas las (nr) con 0≤r≤n≤80.
A ver si se entiende sin LaTeX: ¿Para cuántas parejas de enteros (n,r) con 0<=r<=n<=80 se tiene que nCr = 2 mod 3? Calcular la suma módulo 3 de todas las nCr con 0<=r<=n<=80$. (nCr es el coeficiente binomial n en r)
Pues en este problema se me ocurre ver cuales combinaciones cumplen congruencia 2 modulo 3 desde "0 en 0" hasta "80 en 80" tan pronto vea una manera rapida de sacar esto, pongo la solucion.
-en los primeros 9 renglones (del 0 al 8) hay 10 nimeros congruentes a 2 mod 3.
-luego del 0 al 17 se repite 3 veces ese tringulo, entonces hay 30 numeros congruentes.
-del 0 al 26 hay 5 tringulos como el primero (10 numeros congruentes) y hay uno mas con 26 nimeros conguentes, entonces del 0 al 26 hay 76 numeros congruentes.
-del 0 al 53 hay 3 triangulos como el del 0 al 26, entonces del 0 al 53 hay 228 numeros congruentes 2 mod 3
-del renglon 54 al 80, se forman 2 tringulos como el del 0 al 26 (76 numeros cong. 2 mod 3 cada uno), y se forma un triangulo nuevo que tiene 5 triangulos con 26 numeros cong cada uno y otro triangulo como el del 0 al 8. entonces del 54 al 80 hay 292 numeros cong. 2 mod 3.
y del 0-80 hay 520 numeros, que son 520 parejas (n.r) que son congruentes a 2 mod 3
alberto.. dices que ∑80i=02i=281, pero en realidad esto es 281−1 como lo mencionaste en el enunciado anterior a la expresión... tomando esto en cuenta, el resultado final cambia.
xk no se ve el latex??
ResponderBorrarno le entiendo :S
que raro que no se vea el LaTeX, de hecho ahorita tampoco puedo verlo...
ResponderBorrarA ver si se entiende sin LaTeX:
ResponderBorrar¿Para cuántas parejas de enteros (n,r) con 0<=r<=n<=80 se tiene que nCr = 2 mod 3? Calcular la suma módulo 3 de todas las nCr con 0<=r<=n<=80$.
(nCr es el coeficiente binomial n en r)
Parece que hay problemas con la pagina de donde saque el script de LaTeX -.-
ResponderBorrarPues en este problema se me ocurre ver cuales combinaciones cumplen congruencia 2 modulo 3 desde "0 en 0" hasta "80 en 80" tan pronto vea una manera rapida de sacar esto, pongo la solucion.
ResponderBorrarparte 1
ResponderBorraresta un poco feo el triangulo jeje
http://s803.photobucket.com/albums/yy320/alonso_0293/?action=view¤t=26desep1.jpg
parte 2
http://s803.photobucket.com/albums/yy320/alonso_0293/?action=view¤t=26desep2.jpg
parte 3
http://s803.photobucket.com/albums/yy320/alonso_0293/?action=view¤t=26desep3.jpg
Luis Alonso
tambien use el triangulo de pascal:
ResponderBorrar-en los primeros 9 renglones (del 0 al 8) hay 10 nimeros congruentes a 2 mod 3.
-luego del 0 al 17 se repite 3 veces ese tringulo, entonces hay 30 numeros congruentes.
-del 0 al 26 hay 5 tringulos como el primero (10 numeros congruentes) y hay uno mas con 26 nimeros conguentes, entonces del 0 al 26 hay 76 numeros congruentes.
-del 0 al 53 hay 3 triangulos como el del 0 al 26, entonces del 0 al 53 hay 228 numeros congruentes 2 mod 3
-del renglon 54 al 80, se forman 2 tringulos como el del 0 al 26 (76 numeros cong. 2 mod 3 cada uno), y se forma un triangulo nuevo que tiene 5 triangulos con 26 numeros cong cada uno y otro triangulo como el del 0 al 8.
entonces del 54 al 80 hay 292 numeros cong. 2 mod 3.
y del 0-80 hay 520 numeros, que son 520 parejas (n.r) que son congruentes a 2 mod 3
mañana escaneo mi dibujito :)
Vemos que la suma de (n1)+…(nn)=2n.
ResponderBorrarEstas son dos formas de ver cuantos subconjuntos tiene un conjunto, por eso son iguales.
Asi que si queremos ver hasta n=80, tenemos que sumar:
20+21+⋯+280
La suma de pontencias de 2 consecutivas es la siguiente potencia menos uno. Esto se puede demostrar con induccion.
20+21+⋯+280=281
En modulo 3 vemos que las potencias pares de 2 son ≡1mod3 y las impares ≡2mod3
281≡2mod3
y el otro aun no lo hago...
alberto.. dices que ∑80i=02i=281, pero en realidad esto es 281−1 como lo mencionaste en el enunciado anterior a la expresión... tomando esto en cuenta, el resultado final cambia.
ResponderBorrar∑80i=02i=281, corrijo..
ResponderBorrarhttp://picasaweb.google.com/lh/photo/mIfXvlaLD__hChrRiWZzr2zY3-qDUM5OlqEu_XVViso?feat=directlink
ResponderBorrarese es mi triangulito :)
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorraremm, si me equivoque... aqui esta todo otra vez
ResponderBorrarVemos que la suma de (n1)+…(nn)=2n.
Estas son dos formas de ver cuantos subconjuntos tiene un conjunto, por eso son iguales.
Asi que si queremos ver hasta n=80, tenemos que sumar:
20+21+⋯+280
La suma de pontencias de 2 consecutivas es la siguiente potencia menos uno. Esto se puede demostrar con induccion.
20+21+⋯+280=281−1
En modulo 3 vemos que las potencias pares de 2 son ≡1mod3 y las impares ≡2mod3
281≡2mod3
281−1≡2−1≡1mod3