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viernes, 3 de septiembre de 2010

Problema del dia (3 Sep)

Sea ABC un triángulo acutángulo e isósceles con AC=AB. Sean O su circuncentro e I su incentro. Si D es el punto de intersección de AC con la perpendicular a CI que pasa por O, demuestra que ID y AB son paralelas.

10 comentarios:

  1. Luis Carlos García Ramos4 de septiembre de 2010, 1:19 a.m.

    Éste problema es un poco más difícil de lo que parece.
    Lo que yo hice fue darle un valor a los ángulos ACB, y ABC de 70°. Ahora, para demostrar que las líneas AB y DI son paralelas lo que hice fue compararlas con una línea que cortara a ambos segmentos, para lo cual tomé en cuenta la bisectriz de C, la cual pasa por I, y además, cortaría a AB en el punto E, por lo cual se forma el triángulo CBE. Si el la línea CE es la bisectriz de ACB, entonces el ángulo ECB mide la mitad de ACB, lo cual es 35°. ABC mide 70°, entonces CEB mide 75°. CEB más AEC igual 180°, entonces AEC igual 105°, y, para que la afirmación inicial sea correcta, entonces DIC debe ser igual a 105°.
    Intenté encontrar la medida de el ángulo DIC por 2 horas, pero creó que el factor sueño afectó asi que mañana lo completo y posteo la dirección de mi representación.

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  2. Luis Carlos García Ramos4 de septiembre de 2010, 8:48 a.m.

    Y an encontré AID.
    Dibujamos exactamente lo que hicimos en D, peron sobre la recta AB, y llamamos a este punto G. DIG es congruente con DAG, entonces DIA=DAI=20°. Ahora, si le restamos DIA a CIA obtenemos CID. CIA=125°, DIA=20°, 125°-20°=105°
    CID=CEA=105°
    DI es paralela a AB.

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  3. Yo encontre congruencia de triangulos al hacer los mismo, pero en la otra recta, pero la verdad no lo podia resolver hasta que lei las soluciones de mis companeros:
    DIC=105°, la cual es igual a la de su congruente por lo tanto ambas lineas, ID y AB son paralelas

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  4. llamemos a la intercesion de la perpendicular x tenemos que los angulo cxd es igual a 90, xcd es igual a \frac{1}{2} \beta, y que cdx es igual a 90° - \beta, entonces para que sea paralela 90° - \beta debe ser igual a \alpha, pero primero sacmos que el complemento de cdx es igual a 90° + \beta y se tiene que sacar que el angulo creado por la interseccion de la prolongacion de ci con la linea ab es igual a 90°. entonces se tiene que 360-(270+\beta)=\alpha
    queda que 90 - \beta = \alpha dando congruencia a todos los angulos y provando asi que es paralela

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  5. Lo hice en los ultimos 5 minutos de la clase de hoy :)

    Extendemos AO, va a cruzar por I y va a intersectar BC en el punto medio(lo llamamos M), en un angulo de 90º. Trazamos BI tambien.

    Llamamos BAI = CAI = α y
    ABI = IBC = ICB = ICA = β
    Asi que 2α + 4β = 180º y α+2β = 90

    Sacamos algunos angulos:

    ODC = α2+β
    CIM = α2+β
    OIC = 180 - CIM = 180α2β

    En ODIC tenemos 3 de 4 angulos, que usamos para sacar IOD:
    IOD = 360 - β - (α2+β) - (180α2β) = 180 - β

    Asi que tenemos que IOD = 180 - β y ACI = β, asi que los angulos contrarios de DOIC suman 180º, por lo que es ciclico.

    ACO = CAO = α porque OA y OC son radios
    OCM = 2βα

    MOC = 90 - (2βα)
    MOC = 90 - 2β+α

    Teniamos que α+2β = 90º, lo sustituimos en lo que tenemos...

    MOC = α+2β2β+α
    MOC = 2α

    Teniamos que DOIC es ciclico, asi que MOC = IDC = 2α

    IDC = 2α = BAC, por lo tanto AB paralela a ID.

    :)

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  6. corrijo:

    ...

    Sacamos algunos angulos:

    ODC = α+β
    CIM = α+β
    OIC = 180 - CIM = 180αβ

    En ODIC tenemos 3 de 4 angulos, que usamos para sacar IOD:
    IOD = 360 - β - ( α+β ) - ( 180αβ ) = 180 - β

    ...


    es que primero puse BAC = α en vez de 2α y me confundi...

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  7. http://i785.photobucket.com/albums/yy135/bryanfelixg/309.png
    es parecida a la de alberto solo con diferentes nombres

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  8. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  9. me confundi :S al pricipio pense q era obtusangulo, y despues no se pq pense q ID era el radio del incirculo, y ps si ID es incirculo no sirve ni con obtusangulo, ni con acutangulo. pero bueno eso ya fue un error mio.

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  10. Vemos que A,O,I son colineales ya que ABC es isósceles

    nombramos los ángulos de la siguiente manera:

    CAM=MAB=α

    ACI=ICB=β

    ABC=2β por isoscéles

    4β+2α=180 por suma de ángulos en ABC

    AEC=3β por suma de ángulos en EBC

    ADI=α+3β por suma de ángulos en cuadrilátero AEID

    DOA=β por lo tanto CIOD es cíclico

    OCA=α por AO=OC por radios

    COI=2α=CDI por angulo exterior a AOC y cíclico

    por CDI=CAE DI es paralela a AB

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