La comunidad de olímpicos, ex-olímpicos, entrenadores y seguidores de la Olimpiada en Chihuahua, wherever they are in the world.
Por supuesto cualquier olímpico mexicano (para que parar ahí, de todo el mundo pues), esta invitado a comentar.
viernes, 3 de septiembre de 2010
Problema del dia (3 Sep)
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo e isósceles con $AC=AB$. Sean $O$ su circuncentro e $I$ su incentro. Si $D$ es el punto de intersección de $AC$ con la perpendicular a $CI$ que pasa por $O$, demuestra que $ID$ y $AB$ son paralelas.
Éste problema es un poco más difícil de lo que parece. Lo que yo hice fue darle un valor a los ángulos ACB, y ABC de 70°. Ahora, para demostrar que las líneas AB y DI son paralelas lo que hice fue compararlas con una línea que cortara a ambos segmentos, para lo cual tomé en cuenta la bisectriz de C, la cual pasa por I, y además, cortaría a AB en el punto E, por lo cual se forma el triángulo CBE. Si el la línea CE es la bisectriz de ACB, entonces el ángulo ECB mide la mitad de ACB, lo cual es 35°. ABC mide 70°, entonces CEB mide 75°. CEB más AEC igual 180°, entonces AEC igual 105°, y, para que la afirmación inicial sea correcta, entonces DIC debe ser igual a 105°. Intenté encontrar la medida de el ángulo DIC por 2 horas, pero creó que el factor sueño afectó asi que mañana lo completo y posteo la dirección de mi representación.
Y an encontré AID. Dibujamos exactamente lo que hicimos en D, peron sobre la recta AB, y llamamos a este punto G. DIG es congruente con DAG, entonces DIA=DAI=20°. Ahora, si le restamos DIA a CIA obtenemos CID. CIA=125°, DIA=20°, 125°-20°=105° CID=CEA=105° DI es paralela a AB.
Yo encontre congruencia de triangulos al hacer los mismo, pero en la otra recta, pero la verdad no lo podia resolver hasta que lei las soluciones de mis companeros: DIC=105°, la cual es igual a la de su congruente por lo tanto ambas lineas, ID y AB son paralelas
llamemos a la intercesion de la perpendicular x tenemos que los angulo cxd es igual a 90, xcd es igual a \frac{1}{2} \beta, y que cdx es igual a 90° - \beta, entonces para que sea paralela 90° - \beta debe ser igual a \alpha, pero primero sacmos que el complemento de cdx es igual a 90° + \beta y se tiene que sacar que el angulo creado por la interseccion de la prolongacion de ci con la linea ab es igual a 90°. entonces se tiene que 360-(270+\beta)=\alpha queda que 90 - \beta = \alpha dando congruencia a todos los angulos y provando asi que es paralela
me confundi :S al pricipio pense q era obtusangulo, y despues no se pq pense q ID era el radio del incirculo, y ps si ID es incirculo no sirve ni con obtusangulo, ni con acutangulo. pero bueno eso ya fue un error mio.
Éste problema es un poco más difícil de lo que parece.
ResponderBorrarLo que yo hice fue darle un valor a los ángulos ACB, y ABC de 70°. Ahora, para demostrar que las líneas AB y DI son paralelas lo que hice fue compararlas con una línea que cortara a ambos segmentos, para lo cual tomé en cuenta la bisectriz de C, la cual pasa por I, y además, cortaría a AB en el punto E, por lo cual se forma el triángulo CBE. Si el la línea CE es la bisectriz de ACB, entonces el ángulo ECB mide la mitad de ACB, lo cual es 35°. ABC mide 70°, entonces CEB mide 75°. CEB más AEC igual 180°, entonces AEC igual 105°, y, para que la afirmación inicial sea correcta, entonces DIC debe ser igual a 105°.
Intenté encontrar la medida de el ángulo DIC por 2 horas, pero creó que el factor sueño afectó asi que mañana lo completo y posteo la dirección de mi representación.
Y an encontré AID.
ResponderBorrarDibujamos exactamente lo que hicimos en D, peron sobre la recta AB, y llamamos a este punto G. DIG es congruente con DAG, entonces DIA=DAI=20°. Ahora, si le restamos DIA a CIA obtenemos CID. CIA=125°, DIA=20°, 125°-20°=105°
CID=CEA=105°
DI es paralela a AB.
Yo encontre congruencia de triangulos al hacer los mismo, pero en la otra recta, pero la verdad no lo podia resolver hasta que lei las soluciones de mis companeros:
ResponderBorrarDIC=105°, la cual es igual a la de su congruente por lo tanto ambas lineas, ID y AB son paralelas
llamemos a la intercesion de la perpendicular x tenemos que los angulo cxd es igual a 90, xcd es igual a \frac{1}{2} \beta, y que cdx es igual a 90° - \beta, entonces para que sea paralela 90° - \beta debe ser igual a \alpha, pero primero sacmos que el complemento de cdx es igual a 90° + \beta y se tiene que sacar que el angulo creado por la interseccion de la prolongacion de ci con la linea ab es igual a 90°. entonces se tiene que 360-(270+\beta)=\alpha
ResponderBorrarqueda que 90 - \beta = \alpha dando congruencia a todos los angulos y provando asi que es paralela
Lo hice en los ultimos 5 minutos de la clase de hoy :)
ResponderBorrarExtendemos AO, va a cruzar por I y va a intersectar BC en el punto medio(lo llamamos M), en un angulo de 90º. Trazamos BI tambien.
Llamamos BAI = CAI = $\alpha$ y
ABI = IBC = ICB = ICA = $\beta$
Asi que 2$\alpha$ + 4$\beta$ = 180º y $\alpha + 2\beta$ = 90
Sacamos algunos angulos:
ODC = $\frac{\alpha}{2} +\beta$
CIM = $\frac{\alpha}{2} +\beta$
OIC = 180 - CIM = $180 - \frac{\alpha}{2} - \beta$
En ODIC tenemos 3 de 4 angulos, que usamos para sacar IOD:
IOD = 360 - $\beta$ - ($\frac{\alpha}{2} + \beta$) - ($180 - \frac{\alpha}{2} - \beta$) = 180 - $\beta$
Asi que tenemos que IOD = 180 - $\beta$ y ACI = $\beta$, asi que los angulos contrarios de DOIC suman 180º, por lo que es ciclico.
ACO = CAO = $\alpha$ porque OA y OC son radios
OCM = $2\beta - \alpha$
MOC = 90 - ($2\beta - \alpha$)
MOC = 90 - $2\beta + \alpha$
Teniamos que $\alpha + 2\beta$ = 90º, lo sustituimos en lo que tenemos...
MOC = $\alpha + 2\beta - 2\beta + \alpha$
MOC = $2\alpha$
Teniamos que DOIC es ciclico, asi que MOC = IDC = $2\alpha$
IDC = $2\alpha$ = BAC, por lo tanto AB paralela a ID.
:)
corrijo:
ResponderBorrar...
Sacamos algunos angulos:
ODC = $\alpha +\beta$
CIM = $\alpha +\beta$
OIC = 180 - CIM = $180 - \alpha - \beta$
En ODIC tenemos 3 de 4 angulos, que usamos para sacar IOD:
IOD = 360 - $\beta$ - ( $\alpha + \beta$ ) - ( $180 - \alpha - \beta$ ) = 180 - $\beta$
...
es que primero puse BAC = $\alpha$ en vez de $2\alpha$ y me confundi...
http://i785.photobucket.com/albums/yy135/bryanfelixg/309.png
ResponderBorrares parecida a la de alberto solo con diferentes nombres
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrarme confundi :S al pricipio pense q era obtusangulo, y despues no se pq pense q ID era el radio del incirculo, y ps si ID es incirculo no sirve ni con obtusangulo, ni con acutangulo. pero bueno eso ya fue un error mio.
ResponderBorrarVemos que A,O,I son colineales ya que ABC es isósceles
ResponderBorrarnombramos los ángulos de la siguiente manera:
$\angle CAM=\angle MAB=\alpha$
$\angle ACI=\angle ICB=\beta$
$\angle ABC=2\beta$ por isoscéles
$4\beta+2\alpha=180$ por suma de ángulos en $ABC$
$\angle AEC=3\beta$ por suma de ángulos en $EBC$
$\angle ADI=\alpha+3\beta$ por suma de ángulos en cuadrilátero $AEID$
$\angle DOA=\beta$ por lo tanto $CIOD$ es cíclico
$\angle OCA=\alpha$ por AO=OC por radios
$\angle COI=2\alpha=\angle CDI$ por angulo exterior a $AOC$ y cíclico
por $\angle CDI=\angle CAE$ DI es paralela a AB