La comunidad de olímpicos, ex-olímpicos, entrenadores y seguidores de la Olimpiada en Chihuahua, wherever they are in the world.
Por supuesto cualquier olímpico mexicano (para que parar ahí, de todo el mundo pues), esta invitado a comentar.
miércoles, 8 de septiembre de 2010
Problema del dia (8 sep)
Demostrar que no existe ninguna pareja de primos $p,q$, con $p\textless q$, de tal manera que $p^2 + pq + 6q -1$ sea multiplo de $pq$.
primero, p no puede ser 2, porque p^2 seria par, pq tambien par, y 6q par, si le restas 1 va a ser impar, pero pq es par, asi que no puede dividir algo impar
para que toda la cosa esa sea multiplo de pq, debe ser multiplo de p y q vemos cuando es multiplo de q pq y 6q son multiplos de q, asi que para que todo sea multiplo de q, $p^2-1$ debe ser multiplo de q $p^2-1 = (p+1)(p-1)$
p+1 y p-1 son par, y menores a q, asi que q no los puede dividir, ya que como dijimos que p no es dos, la diferencia es de al menos 2 asi que q no esta en la factorizacion de (p+1)(p-1) asi que q no divide a $p^2-1$, y en general no divide a toda la cosa que teniamos al principio
Listo aquí esta mi solucion ↓ ↓ ↓ http://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/Problema%20Blog%2009-09-10/?action=view¤t=ProblemadelBlog09-08-10.jpg
Las ultimas palabras no se alcanzan a leer,así que esto es lo que dicen: "Por lo tanto, no existen primos p,q, con p < q, de tal manera que p^2 + pq + 6q - 1 sea multiplo de pq.
porque si p es impar, entonces p+1 es par y p-1 es par, y el producto de ambos es un número par, y como q es primo y divide a (p+1)(p-1) entonces q tiene que ser 2 (el cual es primo y par).
Tenemos que q|(p+1)(p-1) hasta ahi vamos bien, luego tenemos que q|p-1 o q|p+1, \ si q|p-1 entonces tenemos que qx = p-1 qx+1= p (aun si x=1 esto no se puede ya que p seria mayor a q) Por lo tanto, tenemos el otro inciso de q|p+1: qy = p+1 qy-1 = p (Aqui la unica forma de que q sea mayor a p es si y=1 de otra manera p>q) Luego, q = p+1 Entonces como tenemos que p es impar, q tendria que ser par(pero no 2 ya que q no seria mayor a p) y entonces no seria un par primo. Otra forma de verlo es teniendo (p,q)= (p,p+1) Los unicos primos que cumplen con eso serian (p,q)= (2,3) Entonces tendriamos que: pq|p^2 + pq + 6q -1 6|2^2 + 6 + 18 - 1= 27 Lo cual no se puede. Y tambien se puede demostrar combinando los dos casos de módulo p y q. Espero que esta solución sea mas clara y correcta.
la verdad creo que ya no me lo van a valer pero esto fue lo que logre:
p^2 es multiplo de p
pq es multiplo de p y de q
6q es multiplo de q
p^2+pq es multiplo de p pero no de q
pq+6q es multiplo de q pero no de p y
luego estuve probando con varios numero y los primeros sale como resultado numeros primos lo que comprobaria que pq no son multiplos del resultado pero al seguir con numero un poco mas grandes algunos me salieron multilpos de 5 y de otro primo asi que lo que tendria que demostrar es que el numero es primo o multiplo de primos deferentes a p y q seguire intentando
p no puede ser 2 pq si lo sustituimos en la funcion nos queda 3+8q|2q de esto se sabe q 2q divide a 8q, pero no puede dividir a 3, asi q p no es igual a 2.
p^2 es impar p+6 es impar porque impar + par sigues siendo impar q(p+6) es impar poruqe impar*impar es impar. la funcion es impar, porque impar +impar+impar + impar pq tambn es impar
de aqui solo nos falta demostrar que pq puede dividir a (p^2)-1 porque q divide a 1(p+6) y a pq pero no sabemos si a p^2-1 se pueda
p^2-1 es par porque impar -impar es par. pero es una diferencia de cuadrados, asi que eso es igual a (p+1)(p-1) y q no pede dividir eso porque p es menor a q y el que podria ser igual podria ser p+1, pero para eso tendrian que ser p y q, los numeros primos 2 y 3, y ya demostramos que p no puede ser 2, asi que aqui esta
para que pq divida a $p^2+pq+6q-1$ entonces p y q lo deben dividir individualmente.
entonces tenemos que q divide a $p^2+pq+6q-1$ entonces q divide a $p^2-1=(p+1)(p-1)$
como q es primo debe dividir a al menos uno de los dos terminos (si fuera compuesto podría no dividir a ningun factor especifico pero si a los dos juntos). por lo tanto solo tenemos 2 casos.
caso1) q divide a p-1, pero por dato del problema sabemos que p<q por lo tanto la única manera en que eso pasaría es que p-1=0 y p=1 pero eso contradice la condición de que p y q son primos, así que este caso no tiene soluciones.
caso2) q dividse a p+1, primero p+1 es mayor a 0, y recordemos que p<q, por lo tanto para que esto se cumpla p+1 tendría que ser igual a q, que es el primero múltiplo de q después de 0 que existe. Esto implica que p y q son primos consecutivos lo cual solo sucede en el caso de 2 y 3, por lo tanto p=2 y q=3. sin embargo como p debe dividir a 6q-1, no se puede que p=2 pues 6q-1 es impar. por lo tanto este caso tampoco tiene soluciones.
mi solucion
ResponderBorrarprimero, p no puede ser 2, porque p^2 seria par, pq tambien par, y 6q par, si le restas 1 va a ser impar, pero pq es par, asi que no puede dividir algo impar
para que toda la cosa esa sea multiplo de pq, debe ser multiplo de p y q
vemos cuando es multiplo de q
pq y 6q son multiplos de q, asi que para que todo sea multiplo de q, $p^2-1$ debe ser multiplo de q
$p^2-1 = (p+1)(p-1)$
p+1 y p-1 son par, y menores a q, asi que q no los puede dividir, ya que como dijimos que p no es dos, la diferencia es de al menos 2
asi que q no esta en la factorizacion de (p+1)(p-1)
asi que q no divide a $p^2-1$, y en general no divide a toda la cosa que teniamos al principio
y ya esta resuelto el problema :)
no me quedo claro, alberto, porque p+1 y p-1 son menores a q??
ResponderBorraro... podrias explicar mejor esto:
"...y menores a q, asi que q no los puede dividir, ya que como dijimos que p no es dos, la diferencia es de al menos 2"
@Daniel "no me quedo claro, alberto, porque $p+1$ y $p-1$ son menores a $q$??"
ResponderBorrarEl problema dice $p<q$ y ademas alberto demostro que $p$ no es 2
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorraroh ya veo... no note esa condicion... muy bien alberto..
ResponderBorrarexactamente lo que dijo isai :)
ResponderBorrarListo aquí esta mi solucion
ResponderBorrar↓ ↓ ↓
http://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/Problema%20Blog%2009-09-10/?action=view¤t=ProblemadelBlog09-08-10.jpg
Las ultimas palabras no se alcanzan a leer,así que esto es lo que dicen:
"Por lo tanto, no existen primos p,q, con p < q, de tal manera que p^2 + pq + 6q - 1 sea multiplo de pq.
tengo una duda irving...
ResponderBorrarporque pusiste que para que q divida a (p+1)(p-1) q tenia que ser par si p es impar?
no puede ser que $p^2-1$ sea $4 \times q \times$ algo?
porque si p es impar, entonces p+1 es par y p-1 es par, y el producto de ambos es un número par, y como q es primo y divide a (p+1)(p-1) entonces q tiene que ser 2 (el cual es primo y par).
ResponderBorraria vi lo que quieres decir alberto, dejame checo eso y te digo
ResponderBorrarPues si tenemos que q | p^2 -1, entonces
ResponderBorrarq x k = p^2 -1 = (p+1)(p-1)
k = (p+1)(p-1)/q
Para que "k" sea entero, entonces q debe ser par y primo [2] ya que tenemos que p^2-1 es par.
Espero que eso aclare las dudas.
mas que duda sigo creyendo que esta mal...
ResponderBorrar(p+1)(p-1) si es par, pero un impar si puede dividir algo par
por ejemplo 20 lo puede dividir 5...
Tenemos que q|(p+1)(p-1) hasta ahi vamos bien, luego tenemos que q|p-1 o q|p+1, \
ResponderBorrarsi q|p-1 entonces tenemos que
qx = p-1
qx+1= p (aun si x=1 esto no se puede ya que p seria mayor a q)
Por lo tanto, tenemos el otro inciso de q|p+1:
qy = p+1
qy-1 = p (Aqui la unica forma de que q sea mayor a p es si y=1 de otra manera p>q)
Luego, q = p+1
Entonces como tenemos que p es impar, q tendria que ser par(pero no 2 ya que q no seria mayor a p) y entonces no seria un par primo.
Otra forma de verlo es teniendo (p,q)= (p,p+1)
Los unicos primos que cumplen con eso serian (p,q)= (2,3) Entonces tendriamos que:
pq|p^2 + pq + 6q -1
6|2^2 + 6 + 18 - 1= 27
Lo cual no se puede.
Y tambien se puede demostrar combinando los dos casos de módulo p y q.
Espero que esta solución sea mas clara y correcta.
mi solucion
ResponderBorrarhttp://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=Picture2.jpg
ahora si ya esta bien :P
ResponderBorrarla verdad creo que ya no me lo van a valer pero esto fue lo que logre:
ResponderBorrarp^2 es multiplo de p
pq es multiplo de p y de q
6q es multiplo de q
p^2+pq es multiplo de p pero no de q
pq+6q es multiplo de q pero no de p y
luego estuve probando con varios numero y los primeros sale como resultado numeros primos lo que comprobaria que pq no son multiplos del resultado
pero al seguir con numero un poco mas grandes algunos me salieron multilpos de 5 y de otro primo
asi que lo que tendria que demostrar es que el numero es primo o multiplo de primos deferentes a p y q
seguire intentando
p^2+pq+6q-1|pq
ResponderBorrarp^2+pq+6q-1 = p^2-1+q(p+6)
p no puede ser 2 pq si lo sustituimos en la funcion nos queda 3+8q|2q
de esto se sabe q 2q divide a 8q, pero no puede dividir a 3, asi q p no es igual a 2.
p^2 es impar
p+6 es impar porque impar + par sigues siendo impar
q(p+6) es impar poruqe impar*impar es impar.
la funcion es impar, porque impar +impar+impar + impar
pq tambn es impar
de aqui solo nos falta demostrar que pq puede dividir a (p^2)-1
porque q divide a 1(p+6) y a pq pero no sabemos si a p^2-1 se pueda
p^2-1 es par porque impar -impar es par.
pero es una diferencia de cuadrados, asi que eso es igual a (p+1)(p-1) y q no pede dividir eso porque p es menor a q y el que podria ser igual podria ser p+1, pero para eso tendrian que ser p y q, los numeros primos 2 y 3, y ya demostramos que p no puede ser 2, asi que aqui esta
para que pq divida a $p^2+pq+6q-1$ entonces p y q lo deben dividir individualmente.
ResponderBorrarentonces tenemos que q divide a $p^2+pq+6q-1$ entonces q divide a $p^2-1=(p+1)(p-1)$
como q es primo debe dividir a al menos uno de los dos terminos (si fuera compuesto podría no dividir a ningun factor especifico pero si a los dos juntos). por lo tanto solo tenemos 2 casos.
caso1) q divide a p-1, pero por dato del problema sabemos que p<q por lo tanto la única manera en que eso pasaría es que p-1=0 y p=1 pero eso contradice la condición de que p y q son primos, así que este caso no tiene soluciones.
caso2) q dividse a p+1, primero p+1 es mayor a 0, y recordemos que p<q, por lo tanto para que esto se cumpla p+1 tendría que ser igual a q, que es el primero múltiplo de q después de 0 que existe. Esto implica que p y q son primos consecutivos lo cual solo sucede en el caso de 2 y 3, por lo tanto p=2 y q=3. sin embargo como p debe dividir a 6q-1, no se puede que p=2 pues 6q-1 es impar. por lo tanto este caso tampoco tiene soluciones.