En un rectángulo de $2\times 3$ se pueden formar 18 rectángulos como pueden ver algunos ejemplos en las figuras. Es fácil notar que en un cuadrado de $2\times 2$ se pueden formar 9 rectángulos. ¿Cuál es el primer $n$ tal que en el cuadrado de $n \times n$ se forman más de 10 000 rectángulos?
Fabian
ResponderBorrartenemos 10,000 rectangulos, lo primero q hago es pasarlo a 10,008 para manejar un multiplo de 9 ahora lo divido entre 9 para manejar solo cuadros de 2x2 sabiendo q cada uno tiene 9 rectangulos y me da 1112, ahora lo paso a 1156 ya que es el cuadrado perfecto mayor mas cercano que hay ahora solo lo multiplico por 9 de cada cuadro y me da 10,404... bno se que no a de estar bien pero es lo que pude hacer por ahora, despues subo otra repuesta mas ascertada.
tiene alguna relacion el que en el cuadrado de 2x2 aia 9 rectangulos, o podria haber mas?
ResponderBorrarMencionar que en el de $2\times 2$ se generan $9$ rectángulos es un ejemplo. Por ejemplo en el de $1\times 1$ se genera sólo un rectángulo (si mismo). Por ejemplo trata de contar cuantos rectángulos puedes tener en un cuadrado de $3\times 3$.
ResponderBorrarn tiene que ser de la forma 2k
ResponderBorrary 9k(k)= numero de rectangulos
9k^2=10000 k=raiz(10000/9)
k=100/3
y pues el numero entero qe mas se aproxima es 34
n=68
y tendremos 10404 rectangulos
si de un cuadrado de 2(2) salen 9 rectangulos
ResponderBorrary n(n)= 10000 entonces
2n(2n)= 90000
4n^2=90000
n^2= 90000/4
n^2= 22500
n= raiz de 22500
n=150
Atte: Luis Rodrigo Sánchez López
Creo que no explique bien el problema. Lo reescribire.
ResponderBorrartengo que $n \times n$ puede formar una cantidad de rectangulos dada por la formula:
ResponderBorrar$1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \frac{n(n+1)}{2} ^2$
asi que si
$\frac{n(n+1)}{2} ^2 = 10000$
$\frac{n(n+1)}{2} = \sqrt{10000} = 100$
$n(n+1) = 100 \times 2 = 200$
asi que el n mas chico que cumple eso es 14
asi que el cuadro de $14 \times 14$ es el que cumple que forma mas de 10000 rectangulos
maniana pongo de donde saque la suma de cubos...
El problema está re-escrito, espero este más fácil entenderlo.
ResponderBorrarAlberto, se ve interesante que saques que es $1^3 + 2^3+\ldots+n^3$, yo lo hice diferente.
A mi tambien me salio eso, si quieren ahorita les doy la demostración de la formula que le salio a Alberto
ResponderBorrarListo, aqui esta mi solución, perdon que les dije demostración ahorita, lo que yo queria decir era la manera de llegar a esa formula.
ResponderBorrarhttp://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/Problema%20del%20Blog%20070910/?action=view¤t=ProblemaBlog09-07-10-1.jpg
http://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/Problema%20del%20Blog%20070910/?action=view¤t=ProblemaBlog209-07-10.jpg
Tengo algunas dudas sobre tu solución Irving.
ResponderBorrarExplicas correctamente que hay $(n-1)n$ maneras de tener rectángulos de $2\times 1$ horizontales. Luego de $3\times 1$ es $(n-2)n$, etc.
Juntanto los de $1\times 1, 2\times 1, \ldots, n\times 1$ te da $n(1+2+3+...+n)$, hasta allí estamos de acuerdo. Luego también analizas correctamente $k\times 2$ aunque luego en la suma pones $(n-1) (1+2+3+\ldots + n)$. El número que me preocupa es $(n-1)(n)$, aunque ese número sale de tomar en cuenta $1\times 2$ algo que no explicas porque empezaste con $3\times 2$ (luego mencionas agregar $2\times 2$ pero no note que mencionaras agregar $1\times 2$).
Fuera de no especificar que cuando consideras $k\times 2$ que $k$ puede ser 1, el análisis que haces es correcto, la fórmula es correcta y la solución es correcta.
Buen trabajo.
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ResponderBorrarahora yo pongo mi forma de llegar
ResponderBorrarhay que determinar la forma que son los rectangulos, le ponemos m x k
donde k es mayor igual a m
vemos que podemos formar ese rectangulo de n-(m-1), que es cuantas veces podemos mover el rectangulo uno a la derecha sobre el cuadrado
eso lo multiplicamos por n-(k-1), que es cuantas veces lo movemos hacia abajo
ademas lo multiplicamos por 2, para contar cuando los cuadros estan horizontales y verticales en el cuadro, y nos da:
$2 (n-(m-1)) (n-(k-1))$
esto no aplica cuando el rectangulo es m x m, ya que es igual al horizontal y vertical, asi que la formula que obtenemos es:
$(n-(m-1))^2$
si sumamos esa formula para todos los rectangulos nos da el resultado que buscamos, pero para simplificar el problema tomamos cada m por separado
si sumamos las m's para todas las k's tenemos:
$r^2 + 2r(1) + 2r(2) + \dots + 2r(r-1)$
donde r = (n-(m-1))
le factorizamos 2r y tenemos:
$r^2 + 2r(1+2+ \dots +(r-1))$
$=r^2 + 2r(\frac{(r-1)r}{2})$
$=r^2 + r(r-1)r$
$=r^2 + r^2(r-1)$
$=r^2 + r^3 - r^2$
$=r^3$
si vemos las r's son desde 1, cuando m = n, hasta n, cuando m=1
si las sumamos nos da la suma de cubos que puse en mi comentario anterior :)
Segun yo en si en un cuadrado de 2x2 caben 9 cuadris, en uno de 2x3 caben 18 y en uno de 3x3 caben 36, tenemos lo siguiente:
ResponderBorrarCada vez que se agregue una unidad a un lado del cuadro original, el numero de rectangulos dentro de el sera el doble que anteriormente:
n=9*(2^m-1), siendo n el numero de rectangulos que caben y m siendo el numero de unidades que se le aumenta a lo largo o a lo ancho al cuadro.
Si 10000=9*2^(m-1),
10000/9=2^(m-1)
Y redondeando siempre al resultado mas grande, el primer cuadrado que pueda tener 10000 rectangulos dentro de el seria:
El resultado de la ecuacion es alrededor de 10.11, lo cual tendriamos que subir a 11, y ademas para que sea un cuadraro, tienen ambos lados que ser iguales, por lo que lo subimos a 12.
Esos doce se dividen entre dos lados, asi que:
El cuadrado menor con el que se peude llegar a tener 10000 cuadros es de:
8x8
No se que tan bien este mi razonamiento, ya que es diferente al de todos los demas.
En mi primer comentario escrbibi que una constante era 1^3+2^3+3^3+...+n^3, pero ya la encontre otra:
ResponderBorrar1x1=1=1^2
2x2=9=3^3
3x3=36=6^2
4x4=100=10^2
Para obtener el resultado del siguiente se le suma n a el cuadrado, esto seria
5x5=(10+5)^2=15^2
Ahora para saber cual es el minimo cuadrado que pasa 10000, se le saca raiz cuadrada a 10000, lo que nos da 100. Ahora, lo que vamos a hacer es sumarle a la formula anterior hasta que nos de 105. Para esto usamos la formula para sumar un numero menos su predecesor y asi hasta 1 osea: 1+2+3...+n, la cual seria:
n(n+1/2)
Lo que hay que hacer es algo asi como adivinar que numero queda en n para que la formula sea igual o mayor a 100. Si le damos un valor de 10, no llega:
10(10+1/2)
10(11/2)
10(5.5)
55
Ahora, con 20 se pasa por demasiado:
20(20+1/2)
20(21/2)
20(10.5)
210
Probemos con 15:
15(15+1/2)
15(16/2)
15(8)
120
Ahora, si lo hacemos con 14:
14(14+1/2)
14(15/2)
14(7.5)
105
Entonces el cuadrado mas chico que forma mas de 10000 rectangulos es de 14x14.
Esto, ademas se puede probar mediante la primera constante:
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3+10^3+11^3+12^3+13^3+14^3=11025
No podria ser 13x13 porque 11025-14^3=8281
Entonces volviendo a lo anterior, el cuadrado mas chico que puede formar por lo menos 10000 rectangulos es de 14x14
Luis Carlos, el patrón que encontraste es correcto. El problema es que lo tienes que demostrar. El hecho de que se cumpla para 2x2 y 3x3, no significa que cumplirá para 4x4, 5x5, etc.
ResponderBorrarEloy, el patrón que encontraste no es correcto. Es cierto que 2x2 te genera 9, 3x2 te genera 18 y 3x3 te genera 36. Pero por ejemplo 4x3 no te genera 72. Te genera 60.
ResponderBorrar@ Quique
ResponderBorrarLo que pasa es que io originalmente tenia planeado sacar los cuadrados y luego cada rectangulo de diferente tipo. Y habia empezado con 3 x 2 porque no queria contar doble, pero luego me di cuenta que 1x2 era diferente a 2x1 y por eso lo agrege despues, se me olvido quitar esa parte de la solucion. Despues indique que no importa que m > k (asi no se contaria doble) porque se esta considerando cada rectangulo posible(ya que m x k es diferente a k x m). En fin, disculpa por no mencionar eso y espero que ya todo este aclarado.
En otras palabras, ahi debi empezar con 1X2, 2X2, y luego 3X2 ya que en realidad no se esta contando doble.
ResponderBorraryo hize casi lo mismo que eloy pero despues vi que en un cuadro de 1x1 las posibilidades son 1 y en uno de 1x2 las posibilidaes son 3 y comparando las respuestas de los demas no se si haya estado bien hecho el razonamiento
ResponderBorrarno puedo subir mis imagenes photobucket no se que hacer para k bean mis soluciones
ResponderBorrarpues ya k mi compu no sube las imagenes, les voy a decir lo que me salio hasta el el ultimo.
ResponderBorrarme salio una suma de 1^3+2^3+3^3+...+n^3=
n(n+1)/2)^2=10000 n(n+1)/2=100 n(n+1)=200 y luego ya formula general y me dio que el cuadrado mas pequeño era el de 14*14
FIN
Irving, en un examen te hubiera dado los 7 puntos, sólo te di una aclaración para que a la próxima tengas más cuidado, otros jueces son más estrictos.
ResponderBorrarBien hecho.
Bien Leonardo, sólo falta ver como dedujiste que $1^3 + 2^3 +\ldots + n^3$ es el número de rectángulos.
ResponderBorrarPues yo la verdad no se como demostrarlo pero pues vi que el numero de rectangulos es asi
ResponderBorrarn=1 1^2
n=2 3^2
n=3 6^2
n=4 10^2
entonces el numero de rectangulos era un cuadrado, asi que le saque la raiz a 10000 que da 100. tambien vi que el numero que se eleva al cuadrado es la suma del valor de n mas el valor del numero que se elevo al cuadrado en n-1
asi que segui sumando hasta quedar
n=13 91^2
n=14 105^2
por eso n=14 es el menor valor de n que da 10000 rectangulos
mi solucion si esta bien?
ResponderBorrarSí. Bien hecho Alberto.
ResponderBorrarmi forma de comprobar lo de 1^3 +2^3 ... etc es:
ResponderBorraren cada caso de n*n como estan los dibujos arriba en el problema, se van a tener n^2 de rectangulitos de 1*1 ;tambn 2(n^2-n) de rectangulitos de 2*1 ; 2(n^2-2n) de rectangulitos de 3*1 ;.....; hasta llegar a 2n de cuadritos de n*1. a eso se le sumaria los resultados anteriores, osea habra (n-1)^2 de rectrangulitos de 2*2 y 2((n-1)^2-(n-1)) de 3*2 asi sucesivamente.....
eso de arriba a continuacion explicado un poco mas visual
el cuadro de 1 es
1
el cuadro de 2 es
4-2.... =8
2-1.... =1
el cuadro de 3 es
9-6-3...=27
6-4-2...=8
3-2-1...=1
etc..... , y podemos ver que si trazamos una diagonal del 1 al 9 y q continuara, esos son los cuadrados perfectos de los lados. y continuaran haciendo eso de la formula de arriba pq cada vez solo va aumentando una fila y una columna.
de ahi se saca lo de
1^3+2^3+3^3+...n+3= (n(n+1)/2)^2
y tambn debe cumplir (n(n+1)/2)^2 =10,000
esto pasa a ser los mismos pasos de alberto, y ya esta comprobado.
NOTA , en los cuadros q puse arriba de cuadro de 1 cuadro de 2 y de 3, se estan sumando el forma de "L", no por columnas
ResponderBorrary tambn se me fue un + en la formula de 1^3+2^3+3^3+...n^3= (n(n+1)/2)^2
ResponderBorrarveamos todos los rectangulos que se pueden formar con el primer vértice (el de la esquina superior izquierda) si escogemos otro punto en la misma línea (las del borde izquierdo y derecho) no determinaremos ningún rectangulo, en cambio si escogemos cualquier punto fuera de estas se formara un único rectangulo con cada uno.
ResponderBorrarla cantidad de rectangulos son $(n+1)(n+1)-(n+1+n)=n^2+2n+1-2n-1=n^2$
notemos que este valor es constante para cada vértice, pues cada uno forma rectangulos con cualquier otro vértice exepto los que están en sus mismas dos líneas.
entonces como tenemos $(n+1)^2$ vértices hay $(n^2)(n+1)^2$ maneras de formar rectangulos.
sin embargo estamos repitiendo, pues un rectangulo es determinado por dos diagonales diferentes sean $AC$ ó $BD$ pero estas las podemos elegir tambien como $CA$ y $DB$, por lo tanto dividimos entre $4$ por los casos que se repiten y nos queda:
$\frac{(n+1)^2(n^2)}{4}$
$(\frac{(n+1)(n)}{2})^2>10000$
$\frac{(n+1)(n)}{2}>100$
$\(n+1)(n)>200$
$(14)(13)=182$
$(15)(14)=210$
por lo tanto la primer $n$ que cumple es $14$
Bien hecho Karina.
ResponderBorrarEn un cuadrado de nxn hay (n+1)(n+1) puntos, si seleccionamos 2 de ellos tendremos [(n+1)(n+1)][(n+1)(n+1)-1]/2 combinaciones, pero esto incluye parejas de puntos colineales. En cada línea hay n+1 puntos y se pueden formar:
ResponderBorrar(n+1)(n+1-1)/2=(n+1)(n)/2
combinaciones de parejas de puntos colineales; como hay un total de 2(n+1) líneas, entonces el total de parejas de puntos colineales será:
2(n+1)(n+1)(n)/2=n(n+1)(n+1).
Si al total de combinaciones le restamos las combinaciones colineales nos da:
(n)(n)(n+1)(n+1)/2
Cada pareja de puntos puede servir como extremos de una diagonal del cuadrado, pero un rectángulo tiene 2 diagonales, así que dividimos entre 2 y la fórmula final sería:
(n)(n)(n+1)(n+1)/4
Finalmente esta fórmula permite plantear una ecuación de cuarto grado que se reduce a una de 2º grado al sacar raíz cuadrada. La solución positiva es aprox. 13.6; por lo tanto la solución del problema es 14.