miércoles, 1 de septiembre de 2010
Problema del día (Sep 1)
Se tienen $11$ sacos colocados en círculo, cada uno con bolas numeradas en orden del 1 al 11. Se saca la bola $1$ del saco $1$, avanzas $1$, ahora del saco $2$, sacas la pelota con el menor número (el $2$) y avanzas $2$ bolsas, ahora del $4$, sacamos la pelota con el menor número (el $4$), ahora nos movemos $4$, sacamos la bola con el menor número del saco $8$, nos movemos $8$, y así en general, al llegar a un saco sacas la bola con el menor número que quede y procedes a avanzar ese número de veces. Siguiendo este proceso, ¿llegará algún momento en que la bola $2009$ es sacada? Si es así, en cuántos movimientos pasará?
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lo primero q vi es el orden en q las pelotas son sacadas por fila. Y el orden se seguira cmpliendo pq cuando llegue otra vez al 1 ahora sera un multiplo de 11 pero +1. entonces volvera a caer en la fila 2, y asi sucesivamente.
ResponderBorrarorden de filas en q salen
1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1.......
NOTA: la fila 11 nunca es tocada.
por modulo podemos sacar en q fila estara el 2009.
2009|7 modulo 11
quiere decir q el 2009 estara en la fila 7.
para sacar en q aro esta, podemos ver q el # de aro por el 11 es el numero q se encuentra en esa posicion. yo elegi el 2002, que es 11*182. qiere decir q el 2002 esta en el aro 182.
como cada vuelta el aro empieza en el 1, quiere decir q la vuelta 183 empezara con el numero 2003. en cada aro son sacados 10 numeros, cuando llegemos al final del aro 182 habran salido ya 1820 bolas, y como viendo arriba, la fila 7 es la octava en salir. podemos hacer 1820+8= 1828.
la respuesta es si, y en el turno 1828 saldra la bola 2009.
fin
neil perez
es un problema del estatal del año pasado :P
ResponderBorraren un ratito pongo la solucion...
listo, por cierto, pusiste que las bolas son del 1 al 11....
ResponderBorrarVemos que en la bolsa uno estan los numeros congruentes a 1 mod 11, asi que cuando sacas esa bola, da vueltas completas hasta llegar al multiplo de 11 menor a el, y luego avanza la congruencia mod 11 que es (1 en este caso). Y lo mismo pasa con las otras 11 bolsas.
Si vemos los primeros turnos vemos que termina en la bolsa:
1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6
apartir de ahi se vuelve a iniciar desde la bolsa uno, sin pasar por la 11
asi que se necesitan 10 turnos para sacar las bolas con las congruencias del 1 al 10
el mayor multiplo de 11 menor a 2009 es el 2002, que es 11x182, asi que se necesitan 1820 turnos para sacar las bolas con numeros menores a 2002, sin sacar las que son multiplos de 11
el 2009 = 7 mod 11, y la congruencia 7 es la 8va en la lista, asi que se necesitan ocho turnos mas para llegar a sacar la 2009
1820+8 = 1828 turnos
Luis Alonso Ponce L.
ResponderBorrarproblema 1
http://s803.photobucket.com/albums/yy320/alonso_0293/?action=view¤t=Image.jpg
problema 2
http://s803.photobucket.com/albums/yy320/alonso_0293/?action=view¤t=Image2.jpg
problema 3
http://s803.photobucket.com/albums/yy320/alonso_0293/?action=view¤t=Image3.jpg
perdon por no haber subido los problemas a tiempo (es que no tenia internet esta semana jeje) pero aqui estan los 3 problemas
tal vez me falto explicar algo pero se los resumi en limpio lo mas que pude
y si algo anda mal con los problemas me avisan ok
pues mi solucion es muy parecida a la de alberto y neil!
ResponderBorrartambien me di cuenta que los numeros de la
fila 1 eran congruentes a 1 mod 11
fila 2 son congruentes a 2 mod 11
analogamente!
fila 11 son congruentes a 0 mod 11
el 2009 es congruente con 7 mod 11
entonces el 2009 se encuentra en la fila del 7
despues de 182 rondas completas! saldran los numeros menores a 2002, entonces en 1821 turnos sale el numero 2003
esto lo consegi de 182(10) +1= 1821
y 11(182)+1= 2003
y pues ya de ahi saque que en el turno 1828 salia la bola 2009.
en la imagen se apreciaria el procedimiento!
http://s792.photobucket.com/albums/yy204/sorpk/images/?action=view¤t=Untitled-1.png
La sequencia seria:
ResponderBorrar1,2,4,8,5,10,9,7,3,6,1...
Cada diez turnos esta secuencia se repite y nunca se pasa por el 11.
Si el 2002=0mod11 entonces el 2009=7mod11
Ademas el 2002, por ser multiplo de 11, nos indica que el 2009 esta a 8 turnos del 2002;
2002/11=182, por lo que si necesitamos 10 turnos para cambiar de aro, y cambiamos de aro 182 veces entonces:
el 2002 esta a 1820 turnos
Por ultimo el 2009, que esta a 8 turnos del 2002, esta en el turno 1828
Igual que muchos lo han hecho hasta ahora, ordene las bolas que sacas en orden:
ResponderBorrar1-2-4-8-5-10-9-7-3-6 sin pasar por 11
2009= 182(11) + 7
por lo tanto hasta el 2002 se necesitan 1820 turnos para sacar el numero 7 se requiern 8 turnos mas.
por lo tanto se sacaria hasta el turno 1828
Vamos a ver el número de bolas sacadas en una forma serializada:
ResponderBorrar1, 2, 4, 8, 5, 10, y así sucesivamente. Para ver toda la seria se van a necesitar congruencias modulo 11.
1 ≡ 1 mod 11 [Bola 1]
1+1 ≡ 2 mod 11 [Bola 2]
2+2 ≡ 4 mod 11 [Bola 4]
4+4 ≡ 8 mod 11 [Bola 8]
8+8 ≡ 5 mod 11 [Bola 5] (No la bola 16 porque todavía no se saca la bola más chica de ese costal)
5+5 ≡ 10 mod 11 [Bola 10]
10+10 ≡ 9 mod 11 [Bola 9]
9+9 ≡ 7 mod 11 [Bola 7] (8° movimiento)
7+7 ≡ 3 mod 11 [Bola 3]
3+3 ≡ 6 mod 11 [Bola 6]
6+6 ≡ 1 mod 11 [Bola 12] (Desde aquí empezamos a conseguir el mismo ciclo, y dentro de estos ciclos de 10 no hay ninguna bola con 0 congruente a módulo 11)
1+1 ≡ 2 mod 11 [Bola 13]
2+2 ≡ 4 mod 11 [Bola 15]
.
.
.
Lo que ahora necesitamos ver es a que es congruente 2009 modulo 11. Después de dividir sabemos que 2009 ≡ 7 mod 11. Cada ciclo es de 10 movimientos ya que nunca se saca una bola del saco #11. Cualquier número congruente con 7 módulo 11 es el 8° movimiento del ciclo de 10. Ahora para saber exactamente cuántos números se han sacado, necesitamos eliminar todos los múltiplos de 11. El múltiplo de 11 más grande menor a 2009 es 2002.
Ahora, 2002 /11 = 182, por lo que hay 192 múltiplos de 11 hasta el último ciclo antes del 2009 (el del 2001). Entonces, 2002-182= 1820 ciclos antes del 2009. Como 2009 ≡ 7 mod 11, que es el 8° movimiento ya que cualquier número k ≡ 7 mod 11 es el 8° movimiento dentro del ciclo de 10 números, y 1810 movimientos fueron realizados antes del último ciclo (el del 2009), entonces la bola 2009 se sacara en el 1820+8 = 1828° movimiento.
Erick Escobar
ResponderBorrarTenemos que sacar las pelotas de una forma que obtendremos un patron que siempre se repetira, ese patron es el siguiente: 1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1, 2...
Si estudiamos el patron vemos que se obtienen, antes de repetirse, los 10 numeros del 1-10 lo que significa que por cada vuelta que le demos al patron abremos sacado 10 pelotas. Y tambien que los multiplos de 11 no aparecen asi que el primer numero de la nueva fila es un multiplo de 11 mas 1, ejemplo: 1, 12, 23.
Teniendo eso y sabiendo que el multiplo de 11 mas cercano a 2009 es 2002 (11*182), nos damos cuenta que hasta la vuelta 182 han pasado 1820 pelotas (sin incluir a los multiplos de 11) y comenzmos la nueva vuelta (183) con el numero 2003, para llegar al 2009 se necesitan 8 turnos mas pues el 2009 corresponde a 7 mod 11 que para aparecer necesita avanzar 8 turnos, teniendo resultado de 1820+8 = 1828 y concluimos que en 1828 turnos llegaremos a la bola 2009
Jajajaja, este venía en el estatal del año pasado. Pues prácticamente lo resolví igual que los demás. De la bolsa del 11 jamás se sacan números, el 2009 está en la fila 7 porque es congruente a 7 mod 11, despues de 1820 turnos ya habrán pasado todos los numeros menores a 2002, para el 2003 ya serían 1821 turnos y para llegar al 2009 se necesitan otros 7, entonces a los 1828 turnos se sacaría el 2009.
ResponderBorrarOigan, creen que podrían subir los problemas un poco más temprano? porfavor:)
yo tambien vi que salen todos los numeros menos el 11 pero no todos los numeros salen en la misma vuelta y en la vuelta 1 estan las primeras 11 pelotas pero solo salen la 1, 2, 4 y 8 por lo que tambien es importante tomar encuenta la vuelta.
ResponderBorrarllame a v la vuelta donde esta el numero n a buscar
$v \equiv 1 \pmod{5}$ entonces solo salen $n\equiv 1,2,4,8 \pmod{11}$
$v \equiv 2 \pmod{5}$ entonces solo salen $n\equiv 5,10 \pmod{11}$
$v \equiv 3 \pmod{5}$ entonces solo salen $n\equiv 9 \pmod{11}$
$v \equiv 4 \pmod{5}$ entonces solo salen $n\equiv 7 \pmod{11}$
$v \equiv 0 \pmod{5}$ entonces solo salen $n\equiv 3, 6 \pmod{11}$
y como se sabe que $2009 \equiv 7 \pmod{11}$ para que aparesca debe de estar en una vuelta $v \equiv 4 \pmod{5}$ asi que se necesita saber la vuelta en donde esta el numero 2009
$v = \frac{2009}{11} + 1$
el +1 devido a que si se divide el numero de bola entre 11 solo los multiplos de once se le obtiene la vuelta completa a todos los demas se les agrega uno por lo tanto
2009 esta en la vuelta 183
pero $183 \equiv 3 \pmod{5}$ no a $4 \pmod{5}$
por lo tanto nunca sera sacada la bola 2009
Eh Daniel yo lo mande por correo a
ResponderBorrardmartinez@ommch.org
arres? zhida pues :)
los numeros del saco uno son de la forma 11k+1
ResponderBorrarlos del saco dos 11k+2
.
.
.
los del saco 11 11k
y al ir sacando las bolas se sigue el siguiente orden en los sacos
1,2,4,8,5,10,9,7,3,6
y despues de sacar la bola del saco 6 se regresa al saco 1 y se repite el orden
(nunca se sacan bolas del saco 11)
2009 es de la forma 11k+7
entonces el 2002 es multiplo de 11 y 2002/11=182
entonces ese 182 lo multiplique por 10 xq las bolas del costal 11 no las conte y le sume 8 porque es el lugar que ocupa el 7 en el orden de sacar las bolas :D
entonces para llegar al 2009 tenemos que sacar 1820+8=1828 bolas :D
Diana Hernandez
ResponderBorrarlos sacos que saldran seran los siguientes:
{1 2 4 8 5 10 9 7 3 6} 1 2 4 8 5
patron^
en este patron nunca aparece el saco #11, por lo tanto no sacaran pelotas que sean multiplos de 11
si seguimos este patron pero sin llegar al 2009 estariamos en el 2002, que es el ultimo multiplo de 11 antes del 2009
2002/11=182*10=1820 turnos para sacar todas las bolas antes del numero 2002,, claro que con esepcion de los multiplos de 11
para que saquemos la pelota 2009 faltarian 8 turnos mas entonces serian 1828 turnos para sacar la bola 2009 (:
pues yo estaba malionterpretando el problema
ResponderBorrarotra vez =(
pero pues ya viendo le entendi asi
dividiendo se saca que el 2009 es 7 mod 11
y el orden en que se sacan las pelotas es este
1º 1
2º 2
3º 4
4º 8
5º 5
6º 10
7º 9
8º 7
9º 3
10º 6
y al 11º movimiento da la vuelta y cae en la bolsa 1 y sacas el 12
11º 12
12º 13
13º 15
14º 19
15º 16
16º 21
17º 20
18º 18
19º 14
20º 17
y de nuevo se regresa a la bolsa 1 y asi se seguira repitiendo
ResponderBorrary cada numero de cada bolsa pertenecen al mismo modulo asi que solo tenemos que buscar cual pertenece al 7 mod 11 y ese es el numero 7 asi que el 2009 esta en la bolsa 7
solo queda 2009/11= 182 con residuo 7
multiplicamos el 182 por 10 ya que las secuencias son de 10 y da 1820
eso significa que despues de 1820 movimiento caemos en de nuevo en la bolsa 1 y para llegar a la bolsa 7 necesitamos 8 movimiento mas y el resultado seria:
si puede salir la bola #2009 y se sacaria en el movimiento 1828
En mi opinión el problema está un poco mal planteado, pero leyendo las repsuestas de los compañeros le hallé forma y ésta es mi respuesta:
ResponderBorrarYo lo que hice fue que en lugar de ponerle 11 bolas a cada saco, lo cual se me hizo un poco extraño considerando la dinamica del problema, le puse, si era el saco #1 la bola 1, 1+11, 1+22, dependiendo del turno que tocara, con lo cual obtenemos la siguiente fórmula:
b=11v+s.
Siendo b=número de bola, v=número de vuelta, y, s=número de saco. Para efectos de contar las bolas, simplemente se puede usar el número de saco como el número de bola, pero si se busca una bola en específico, la fórmula resulta útil.
Ahora, si b es igual a 2009, y sabemos que el número de saco se puede determinar con la función 2009 módulo 11, lo que se puede hacer es:
b=11v+s
2009=11v+(2009mod11)
2009=11v+7
2009-7=11v
2002=11v
2002/11=v
182=v
Ahora, lo que tratamos de determinar es el número de turnos, para lo cuál sabemos que el número de turnos es igual a diez veces el número de vuelta(ésto es porque el saco 11 nunca es tocado, entonces sólo se cuentan 10 sacos por vuelta) más el turno del saco. La ecuación quedaría así:
u=10v+y
Siendo "u" el número de turnos, "v" el número de vuelta y "y" el turno del saco. Si el orden es 1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6; entonces el turno del saco 7 es el octavo. Con lo cual la ecuación queda así:
u=10v+y
u=(10*182)+8
u=1820+8
u=1828
Con éso nos queda que si, sí se puede llegar a la bola 2009 y és en el turno número 1828.
tu solución parece ser correcta,leonardo,al igual que el resto de las respuestas de tus compañeros (excepto una que vi por aki arriba)
ResponderBorrarpueden ver la solucion de leonardo en
http://s902.photobucket.com/albums/ac223/dannielote/?action=view¤t=solLeonardo.jpg
solo no me queda claro... no dices porque sumas 8...
saludos
al principio no le entendia bien el problema por que no lo habia leido bien pero despues que le puse mas atencion vi que cada 11 se repetia la bolsa 1 entonces teniendo ya el orden que es 1, 2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1, se puede deducir que con solo dividir 2009 entre 11 y localizar el residuo en el orden anterior que se tiene 182*11+7=2009 y si se busca el 7 en el orden es el numero 8 y se multiplica el 182*10 y se le suma el 8 para quedar como resultado que caeria en el numero 1828
ResponderBorrarPrimero hice el circulo, le pusoe 11 puntitos y los numere. luego vi el patron :
ResponderBorraren el 1 se saca la bola 1 y se avanza uno, en el 2 la dos, luego el 4 y asi sucesivamente y el patron quedo asi
1-2-4-8-5-10-9-7-3-6-1-2...
a a parecer que copie pero tambien use módulos
1=1 mod 11 (bola 1)
1+1=2 mod 11
2+2=4 mod 11
4+4=8 mod 11
8+8=5 mod 11
5+5=10 mod 11
10+10=9 mod 11
9+9=7 mod 11
7+7=3 mod 11
3+3=6 mod 11
6+6=1 mod 11 (bola 12)
Y este proceso sigue, el numero de bolas que salen al terminar el patron son 10 bolas con ua diferencia de 11 cada una, entonces la primer serie es = 11k +1, la segunda seria 11k+2 y asi
significado la bola que salio al final de la serie es = 1(11) + 1= bola 12
la segunda = 2(11)+1= bola 23
ahora divido 2009 entre 11 y esto me da 182 y sobran 7, para estyo ya son 1820 movimientos
Como:
2009=7 mod 11
y tambien lo es
9+9=7 mod 11 (como se vio ahorita)
y esto concuerda al turno 8 en una sola serie, entonces en el turno en el que sale la bola 2009 es:
1820 + 8 = el turno 1828
atte: Luis Rodrigo Sánchez López
vemos todos los numeros mod 11, la forma en que se van sacando los números es
ResponderBorrar1,2,4,8,5,10,9,7,3,6,1...
Se forma un ciclo de 10 movimientos cada uno (nunca sacamos números de la bolsa 11)
veamos que 2009=(182)(11)+7
entonces pertenece al grupo 183 (1 pertenece al primer grupo [0][11]+1)
entonces son (182)(10) pasos para llegar al grupo correspondiente y 8 pasos más para llegar a la bolsa 7 donde está el 2009.
R=1828