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lunes, 6 de septiembre de 2010
Problema del dia (6 sep)
Se toma un punto $P$ en el interior de un rectángulo $ABCD$ de tal manera que $\angle APD + \angle BPC = 180^{\circ}$. Encuentra la suma de los ángulos $\angle DAP$ y $\angle BCP$.
Si ponemos el punto P, exactamente a la mitad de os segmentos AB y DC, sin importar su relacion con BC y AD, al momento de unir el punto P con A, B, C, y D, obtendremos dos triangulos isosceles, uno con base AD, y el otro, BC. Se nos dice que la suma de los angulos APD y BPC es igual a 180 grados. Yo los distribui de la siguiente manera: APD=140, y BPC=40. Ahora, si sacamos las medidas de los demas angulos de los triangulos, tenemos que PAD=ADP=20 y BPC=BCP=70. Si sumamos los angulos DAP y BCP obtenemos 90 grados. Despues hice la prueba con diferentes angulos, pero siempre con la constante de que P esta exactamente en la mitad de AB y DC, y obtuve que el resultado siempre va a ser 90 grados debido a que la suma de los dos angulos que son iguales en uno de los triangulos mas los dos angulos que son iguales en el otro siempre va a ser igual a los otros dos angulos desiguales, osea 180 grados, entonces si nos piden solo un angulo de un lado y otro del otro, obtendremos la mitad de esto, o 90 grados.
luis... no puedes hacer un caso particular para demostrar una generalización (no siempre)... en este caso tomaste los angulos 140º y 40º... pero.. como sabes que la suma pedida será siempre 90º si hay infinitas combinaciones de dos números que sumen 180?????? aparte hay angulos que suman 180º que no necesariamente forman dos triangulos isosceles
la solución de este problema me gusta mucho.. es muy ingeniosa y sirve para demostrar otros tantos...
primero q nada, podemos sacar q los 3 angulos del triangulo APD y los tres angulos del triangulo BPC suman 360. ahora le quitamos los dos angulos que suman 180, y nos queda q los angulos DAP+PDA+PBC+BCP=180.
corrijanme si esto q sigue esta mal:
yo vi que como estan dentro de un rectangulo quiere decir que es un cuadrilatero ciclico, y los angulos DAP y DCP abren el mismo arco(aunq el arco no esta en la circunferencia, pero es obio que los dos abren el mismo arco, y por ser los dos puntos de la circunferencia, los dos son iguales.) con esto puedes sustituir en angulo DAP por DCP. y como vemos q DCP +BCP= 90. quiere decir q DAP+BCP=90.
neil.. puedes leer el comentario de isai.. abrirían el mismo arco solamente cuando A, P y C son colineales.. puesto que de lo contrario.. no seria una recta.. por muy tonto que suene eso ultimo...
el angulo APD y el angulo BPC son iguales por qe son opuestos, te dice qe la suma de los 2 es de 180°, entonces qomo son iguales, cada uno mide 90°. con esto tenemos qe la suma de los angulos PAD y el angulo PDA tiene qe ser de 90°
el triangulo APD es isosceles, ya qe parten de 2 puntos qe esdtan a la misma distancia de P, entonces el angulo PAD y el angulo ADP son iguales. entonces el angulo PAD=45° y el angulo PDA=45° no necesariamente los triangulos APD y el triangulo BPC sean iguales, ya qe el punto P nop es punto medio del rectangulo ABCD. qomo AB es paralela a DC, y BD es la secante entonces los angulos PAD y PCB son angulos exteriores alternos, por lo tanto son iguales ambos miden 45° carolina lopez
carolina, P no esta en el centro exacto del rectangulo, puede estar en cualquier lugar dentro del triangulo por lo tanto APD y BPC no son opuestos por el vertice... y toda tu solucion es incorrecta...
segun yo por lo que pude comprobar suponiendo que el punto P estaba en medio de AB y DC o AD y BC da como resultado que la suma de los angulos DAP y BCP es igual a 90
Bueno pues luego que por ahí alguien dijo la "pista" de "construcción" (específicamente: copiar el rectangulo en alguno de los lados) el problema se vuelve bastante facil.
Sea mi rectangulo original (ABCD) si lo copiamos en el lado BC nos quedaría un super rectangulo (AEFD) con B en AE y C en DF, llamemos Q al equivalente del punto P en el segundo rectángulo.
Sea $\angle APD=\gamma$ y $\angle BPC=\alpha$ por dato del problema $\gamma+\alpha=180$
Por construcción $\angle BQC=\angle APD=\gamma$
Vemos que entonces el cuadrilatero $PBQC$ es cíclico porque sus angulos contrarios suman 180.
además por contrucción $\angle CBQ=\angle DAP$
Trazamos PQ que viene siendo la diagonal del cuadrilatero junto con BC, como P y Q están a la misma altura con respecto a BF entonces son paralelas (PQ es paralela a DF) como BC es perpendicular a DF entonces BC y PQ tambien son perpendiculares
Luego, haciendo uso del cíclico tenemos que $\angle CBQ=\angle CPQ$
Sea R el punto donde se intersectan PQ y BC, en el triangulo rectangulo CPR $\angle CPR$ y $\angle PCR$ son justamente la suma que nos piden encontrar, como en todo el triangulo la suma de los ángulos es igual a 180, restando el valor de $\angle PRC=90$ tenemos que $\angle DAP+\angle BCP=90$
ya lo resolvi
ResponderBorrarnomas lo escaneo y subo =)
aqui esta
ResponderBorrarhttp://i1239.photobucket.com/albums/ff517/miguelomar14/problema%206%20de%20septiembre/001.jpg
http://i1239.photobucket.com/albums/ff517/miguelomar14/problema%206%20de%20septiembre/002.jpg
Miguel lo que dices de los arcos no es cierto porque $B,D,P$ y $A,P,C$ no son colineales
ResponderBorrarSi ponemos el punto P, exactamente a la mitad de os segmentos AB y DC, sin importar su relacion con BC y AD, al momento de unir el punto P con A, B, C, y D, obtendremos dos triangulos isosceles, uno con base AD, y el otro, BC. Se nos dice que la suma de los angulos APD y BPC es igual a 180 grados. Yo los distribui de la siguiente manera: APD=140, y BPC=40. Ahora, si sacamos las medidas de los demas angulos de los triangulos, tenemos que PAD=ADP=20 y BPC=BCP=70. Si sumamos los angulos DAP y BCP obtenemos 90 grados. Despues hice la prueba con diferentes angulos, pero siempre con la constante de que P esta exactamente en la mitad de AB y DC, y obtuve que el resultado siempre va a ser 90 grados debido a que la suma de los dos angulos que son iguales en uno de los triangulos mas los dos angulos que son iguales en el otro siempre va a ser igual a los otros dos angulos desiguales, osea 180 grados, entonces si nos piden solo un angulo de un lado y otro del otro, obtendremos la mitad de esto, o 90 grados.
ResponderBorrarluis... no puedes hacer un caso particular para demostrar una generalización (no siempre)... en este caso tomaste los angulos 140º y 40º... pero.. como sabes que la suma pedida será siempre 90º si hay infinitas combinaciones de dos números que sumen 180?????? aparte hay angulos que suman 180º que no necesariamente forman dos triangulos isosceles
ResponderBorrarla solución de este problema me gusta mucho.. es muy ingeniosa y sirve para demostrar otros tantos...
siganle echando coco.
una pregunta, si los angulos APD + BPC= 180, entonces la suma de APB + DPC= 180?
ResponderBorrarAtte: Luis Rodrigo Sánchez López
no lo he podido acabar. saque alturas de los triángulos que se forman, y solo pude llegar a que DAP+BCP=ABP+CDP
ResponderBorrarprimero q nada, podemos sacar q los 3 angulos del triangulo APD y los tres angulos del triangulo BPC suman 360. ahora le quitamos los dos angulos que suman 180, y nos queda q los angulos DAP+PDA+PBC+BCP=180.
ResponderBorrarcorrijanme si esto q sigue esta mal:
yo vi que como estan dentro de un rectangulo quiere decir que es un cuadrilatero ciclico, y los angulos DAP y DCP abren el mismo arco(aunq el arco no esta en la circunferencia, pero es obio que los dos abren el mismo arco, y por ser los dos puntos de la circunferencia, los dos son iguales.) con esto puedes sustituir en angulo DAP por DCP. y como vemos q DCP +BCP= 90. quiere decir q DAP+BCP=90.
luis.. asi es.. suman 180º
ResponderBorrarneil.. puedes leer el comentario de isai.. abrirían el mismo arco solamente cuando A, P y C son colineales.. puesto que de lo contrario.. no seria una recta.. por muy tonto que suene eso ultimo...
ResponderBorrarel angulo APD y el angulo BPC son iguales por qe son opuestos, te dice qe la suma de los 2 es de 180°, entonces qomo son iguales, cada uno mide 90°.
ResponderBorrarcon esto tenemos qe la suma de los angulos PAD y el angulo PDA tiene qe ser de 90°
el triangulo APD es isosceles, ya qe parten de 2 puntos qe esdtan a la misma distancia de P, entonces el angulo PAD y el angulo ADP son iguales.
entonces el angulo PAD=45° y el angulo PDA=45°
no necesariamente los triangulos APD y el triangulo BPC sean iguales, ya qe el punto P nop es punto medio del rectangulo ABCD.
qomo AB es paralela a DC, y BD es la secante entonces los angulos PAD y PCB son angulos exteriores alternos, por lo tanto son iguales
ambos miden 45°
carolina lopez
http://i785.photobucket.com/albums/yy135/bryanfelixg/sc000b329a.jpg
ResponderBorrareso es lo que avanze, no pude resolverlo, solo saque muchos angulos y la verdad no llegue a nada conclusivo
carolina, P no esta en el centro exacto del rectangulo, puede estar en cualquier lugar dentro del triangulo
ResponderBorrarpor lo tanto APD y BPC no son opuestos por el vertice... y toda tu solucion es incorrecta...
segun yo por lo que pude comprobar suponiendo que el punto P estaba en medio de AB y DC o AD y BC da como resultado que la suma de los angulos DAP y BCP es igual a 90
ResponderBorrarBueno pues luego que por ahí alguien dijo la "pista" de "construcción" (específicamente: copiar el rectangulo en alguno de los lados) el problema se vuelve bastante facil.
ResponderBorrarSea mi rectangulo original (ABCD) si lo copiamos en el lado BC nos quedaría un super rectangulo (AEFD) con B en AE y C en DF, llamemos Q al equivalente del punto P en el segundo rectángulo.
Sea $\angle APD=\gamma$ y $\angle BPC=\alpha$ por dato del problema $\gamma+\alpha=180$
Por construcción $\angle BQC=\angle APD=\gamma$
Vemos que entonces el cuadrilatero $PBQC$ es cíclico porque sus angulos contrarios suman 180.
además por contrucción $\angle CBQ=\angle DAP$
Trazamos PQ que viene siendo la diagonal del cuadrilatero junto con BC, como P y Q están a la misma altura con respecto a BF entonces son paralelas (PQ es paralela a DF) como BC es perpendicular a DF entonces BC y PQ tambien son perpendiculares
Luego, haciendo uso del cíclico tenemos que $\angle CBQ=\angle CPQ$
Sea R el punto donde se intersectan PQ y BC, en el triangulo rectangulo CPR $\angle CPR$ y $\angle PCR$ son justamente la suma que nos piden encontrar, como en todo el triangulo la suma de los ángulos es igual a 180, restando el valor de $\angle PRC=90$ tenemos que $\angle DAP+\angle BCP=90$