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Mi reto estaba muy facil con computadora, pero dificil sin computadora, asi que les pongo un reto para avanzados que es dificil con computadora y sin computadora.
Demuestra que para toda $n$, \[\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times\cdots\frac{2n-1}{2n} > \frac{3}{4\sqrt{2n+1}}\]
Fabian mm... lo unico que se me ocurre es ir multiplicando por grupos y simplificando, pero no es lo mas practico aparte de q es una buena lata... y por desigualdan no tengo idea -.-
@david, un error que cometiste es que le factorizaste un solo 2 a los pares, cuando le tienes que factorizar un 2 a cada uno porque se estan multiplicando...
La verdad solo se me ocurre tratar de simplificar las fracciones factorizandolas, pero aun asi, despues de varios intentos no llego a una solucion concreta...bueno no llego a nada!
lo que estoy haciendo es simplificar toda la operacion y me quedo asi: (99!/2)/(100!/2) < 1/raiz de 101 puse esto porque iban en nones y pares, como arriba eran los nones, y estos terminaban en 99, y todos se multiplican entonces esto es =99! pero como son solo nones entonces se divide entre 2 lo que voy a hacer es eliminar el 2 a que quede 99!/100!=0/1 entonces 0/1 < 1/raiz de 101 Atte: Luis Rodrigo Sánchez López
perdon me equivoque, es = 1/100 como la raiz de 100 es 10, entonces la raiz de 101 es cercano pero es seguramente menor a 11, asi que lo expresare como 1/11 entonces 1/100 < 1/11 Atte: Luis Rodrigo Sánchez López
estas cayendo en un error, luis... si te fijas.. 99! es 1.2.3.4.....99 al dividirlo entre 2 tienes como resultado: 1.3.4.5.6.7....99 que no es lo que tienes en el problema..
Usaste dobles factoriales en este problema Daniel?
Les dare una pista a los demas, porque no veo que a nadie les salga y pues esta muy facil el problema.
La pista es hacer casitos. Por ejemplo \[\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times\cdots\times\frac{99}{100} < \frac{1}{\sqrt{101}}\] acabar en 100 no parece tener nada de especial. Que tal si en lugar de acabar en 100 consideran acabar en $2 n$: \[\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times\cdots\times\frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\] Por ejemplo con $n = 1$ seria $\frac{1}{2} < \frac{1}{\sqrt{3}}$ y para $n = 2$ sería $\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}<\frac{1}{\sqrt{5}}$. Demuestren estas dos primero y vean si encuentran la idea que les ayude a demostrar el problema en general.
y amm aún no lo explico bien... lo que llevo hasta ahí es que del lado derecho tenemos todas las posibles maneras de escoger 200 personas (un grupo de $1,2,3,\dots,200$ personas) luego del lado izquierdo son las maneras de escoger 100 personas de 200 (dividiendo el grupo primero en dos, digamos que hay 100 niñas y 100 niños) pero el 101 falta explicar porque eso no logra completar los muchos otros casos de grupos...
y que eso es mayor a (raiz de 101) / 110 y esto es todavia mayor a (raiz de 100) / 110 = 1/11
entonces (numerote de arriba) < 1/11 < (raiz de 101) / 110 < 1/ (raiz de 101)
demostrado, dure con las multiplicaciones un buen rato, porque cada vez eran mas grandes, pero como no sabia otra tecnica para llegar mas rapido, ps tuve q hacer eso :S, pero ya esta XD
Neil, siento decepcionarte, pero hiciste un error en tu multiplicación. 11*13*17*...*97 no es 15391720000. De hecho no debe tener ningun cero al final y el numero es mucho mucho mas grande.
Aunque te saliera de esta manera, imaginate si el problema cambia a multiplicar hasta 1000 en lugar de 100 y demostrar que es menor a 1/$\sqrt{1001}$, tus métodos no son efectivos.
Te recomiendo ver mi sugerencia arriba en otro comentario para tratar de resolver el problema.
si lo se q es mucho mas grande, pero lo fui simplificando. y si lose q si fuera mas grande seria muy dificil ponerme a hacerlo, pero ps como hasta ahi llegaba y ya no sabia como resolverlo mas, ps me puse a multiplicarlo
Pues sí en una competencia no importa si lo puedes generalizar o no, lo único que importa es contestar el problema en mano. Si lo multiplicas todo correctamente entonces no hay problema. Pero en este caso cometiste un error. Al irte por la talacha, cometer un error en la multiplicación es grave porque es difícil generar puntos parciales.
Momento... todavia no esta bien, el numero que utilizaste para quitar los denominadores tiene cosas de mas, pero en esencia esta bien, nomas corrige ese pequeño error jeje
Si descomponemos en factores primos el numerador y el denominador y simplificamos queda: $\frac{3^4*11*13*17*19*31*53*59*61*67*71*73*79*83*89*97}{2^97}$, luego, cada factor del numerador lo sustituimos por la potencia de base 2 inmediatamente superior y nos queda $\frac{2^85}{2^97]=$\frac{1}{2^12} esta fracción es mayor que la original, pero menor que $\frac{1}{\sqrt{2^8} que es igual a 1/(2^4) esta fracción es menor que 1/((101)^(1/2)) y aún así es mayor que 1/(2^12) que a su vez es mayor que la original
Si agrupamos de 2 en 2 los factores del numerador y los sustituimos por la potencia de 2 inmediatamente superior, entonces quedaría 2^92 en el numerador y ya el resto del argumento se podría quedar igual
como le haces para que salga en numeros grandotes?
ResponderBorrarsimplifique la parte de la izquierda y ahora tengo
ResponderBorrar$\frac{51 \times 53 \times \dots \times 99}{2^75 \times 25!} \textless \frac{1}{\sqrt{101}}$
y eso llevo, tengo sueño :S
:S Ps yo me trabe hasta 1/2(1x3x5x...x99/1x2x3x4...x50) = (1/2)(1/50!)(100!/2x4x6x8x...x50)> 1/√101)
ResponderBorrarTratare de avanzarle lo más que pueda pero alguna sugerencia de cualkier tipo sera agradecida :)
isai no vimos desigualdades eeeeh ¬¬
ResponderBorrarPues las desigualdades que io vi son de "y" mayor, menor igual a "x", no asi de k "y">"x" :S
ResponderBorrarPuse este porque no se requiere grandes conocimientos de desigualdades, solamente un poco de ingenio.
ResponderBorrarComo reto para los avanzados, tengo una versión diferente:
ResponderBorrarDemuestra que para $n$ suficientemente grande ($n \geq 47$), tenemos que
\[\frac{1}{2}\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n} < \frac{4}{5\sqrt{2n+1}}\]
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrarMi reto estaba muy facil con computadora, pero dificil sin computadora, asi que les pongo un reto para avanzados que es dificil con computadora y sin computadora.
ResponderBorrarDemuestra que para toda $n$,
\[\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times\cdots\frac{2n-1}{2n} > \frac{3}{4\sqrt{2n+1}}\]
no entendi lo que puso irving :S
ResponderBorrary lo de bryan, tambien llegue a eso, y luego lo pase a lo que tengo ahora
lo de abajo es $2^75$ no 275...
$\frac{51 \times 53 \times \dots \times 99}{2^{75} \times 25!} \textless \frac{1}{\sqrt{101}}$
ResponderBorrareh intentado pero todabia no llego a nada! mas al rato subo la solucion!
ResponderBorrarLa verdad no se como hercerle =S segure intentando a ver a que llego
ResponderBorrarFabian
ResponderBorrarmm... lo unico que se me ocurre es ir multiplicando por grupos y simplificando, pero no es lo mas practico aparte de q es una buena lata...
y por desigualdan no tengo idea -.-
por accidente borre mi comentario, la simplificacion a la que llegue es
ResponderBorrar$\[\frac{101!}{2^{100}*50!^2}<\sqrt{101}\]$
a partir de ahi esoy atorado :\
\[\frac{101!}{2^{100}*50!^2}<\sqrt{101}\]
ResponderBorraryo llegue hasta aqui
ResponderBorrar$$\frac{100!}{(2*50!)^2}<\frac{1}{\sqrt{101}}\$$
@david, un error que cometiste es que le factorizaste un solo 2 a los pares, cuando le tienes que factorizar un 2 a cada uno porque se estan multiplicando...
ResponderBorrarno se si me explique...
La verdad solo se me ocurre tratar de simplificar las fracciones factorizandolas, pero aun asi, despues de varios intentos no llego a una solucion concreta...bueno no llego a nada!
ResponderBorrarlo que estoy haciendo es simplificar toda la operacion y me quedo asi:
ResponderBorrar(99!/2)/(100!/2) < 1/raiz de 101
puse esto porque iban en nones y pares, como arriba eran los nones, y estos terminaban en 99, y todos se multiplican entonces esto es =99! pero como son solo nones entonces se divide entre 2
lo que voy a hacer es eliminar el 2 a que quede
99!/100!=0/1
entonces 0/1 < 1/raiz de 101
Atte: Luis Rodrigo Sánchez López
perdon me equivoque,
ResponderBorrares =
1/100
como la raiz de 100 es 10, entonces la raiz de 101 es cercano pero es seguramente menor a 11, asi que lo expresare como 1/11
entonces
1/100 < 1/11
Atte: Luis Rodrigo Sánchez López
estas cayendo en un error, luis... si te fijas.. 99! es 1.2.3.4.....99
ResponderBorraral dividirlo entre 2 tienes como resultado:
1.3.4.5.6.7....99 que no es lo que tienes en el problema..
nadie lo intento con dobles factoriales??
emm, yo no xD
ResponderBorrarni me acuerdo como funcionan las dobles factoriales aparte de para expresar la primer mitad como
$\frac{99!!}{100!!}$
:P
ah bueno.. nada mas hacia el comentario... de hecho no les recomiendo usarlos si no los saben manejar... y menos aun si no los conocen
ResponderBorrarUsaste dobles factoriales en este problema Daniel?
ResponderBorrarLes dare una pista a los demas, porque no veo que a nadie les salga y pues esta muy facil el problema.
La pista es hacer casitos. Por ejemplo \[\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times\cdots\times\frac{99}{100} < \frac{1}{\sqrt{101}}\]
acabar en 100 no parece tener nada de especial.
Que tal si en lugar de acabar en 100 consideran acabar en $2 n$:
\[\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}\times\cdots\times\frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\]
Por ejemplo con $n = 1$ seria $\frac{1}{2} < \frac{1}{\sqrt{3}}$ y para $n = 2$ sería $\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}<\frac{1}{\sqrt{5}}$. Demuestren estas dos primero y vean si encuentran la idea que les ayude a demostrar el problema en general.
me da la idea de intentarlo por induccion, a ver como me resulta y subo mas tarde.
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ResponderBorrarEste comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrarpodemos expresar lo primero como
ResponderBorrar\[\frac{100!}{2^5^0(50!)2^5^0(50!)}<\frac{1}{\sqrt{101}}\]
que es lo mismo que:
\[\frac{100!}{2^1^0^0(50!)(50!)}<\frac{1}{\sqrt{101}}\]
si y solo si
\[\frac{100!\sqrt{101}}{50!^2}<2^1^0^0\]
si y solo si
\[\frac{100!100!101}{50!^4}<2^2^0^0\]
\[101\binom{100}{50}\binom{100}{50}<2^2^0^0\]
y amm aún no lo explico bien... lo que llevo hasta ahí es que del lado derecho tenemos todas las posibles maneras de escoger 200 personas (un grupo de $1,2,3,\dots,200$ personas) luego del lado izquierdo son las maneras de escoger 100 personas de 200 (dividiendo el grupo primero en dos, digamos que hay 100 niñas y 100 niños) pero el 101 falta explicar porque eso no logra completar los muchos otros casos de grupos...
y luego de 1000 años ya medio quedó el $LaTeX$ jaja
ResponderBorrarQuedo bien el LaTeX, pero pues no has resuelto el problema todavía.
ResponderBorrarjajajaja
ResponderBorrarestamos igual con el latex :P
deberia haber un boton de editar xD
no entendi como salio el ultimo si y solo si...
yo llegue a lo formula igual q alberto
ResponderBorrar(51*53*55.....99)/ (2^75)(1*2*3...25)
de ahi descompuse todos los numeros de arriba, y los de abajo. y me quedo:
11*13*17*19*29*31*53*59*61*67*71*73*79*81*83*89*97
__________________________________________________________
2^97
com de ahi ya no sabia q hacer, me tube que poner a multiplicarlos. es una flojera, pero es una manera de sacarlo.
y me quedo
15,391,720,000
________________
12,957,094,122,057
esto es logico q ni siquiera es igual a 1/11
y q 1/(raiz de 101) = (raiz de 101) / 101
y que eso es mayor a (raiz de 101) / 110
y esto es todavia mayor a (raiz de 100) / 110 = 1/11
entonces (numerote de arriba) < 1/11 < (raiz de 101) / 110 < 1/ (raiz de 101)
demostrado, dure con las multiplicaciones un buen rato, porque cada vez eran mas grandes, pero como no sabia otra tecnica para llegar mas rapido, ps tuve q hacer eso :S, pero ya esta XD
neil perez
Neil, siento decepcionarte, pero hiciste un error en tu multiplicación. 11*13*17*...*97 no es 15391720000. De hecho no debe tener ningun cero al final y el numero es mucho mucho mas grande.
ResponderBorrarAunque te saliera de esta manera, imaginate si el problema cambia a multiplicar hasta 1000 en lugar de 100 y demostrar que es menor a 1/$\sqrt{1001}$, tus métodos no son efectivos.
Te recomiendo ver mi sugerencia arriba en otro comentario para tratar de resolver el problema.
Estoy un poco incrédulo que no lo haya resuelto nadie. El problema no es difícil.
ResponderBorrarsi lo se q es mucho mas grande, pero lo fui simplificando. y si lose q si fuera mas grande seria muy dificil ponerme a hacerlo, pero ps como hasta ahi llegaba y ya no sabia como resolverlo mas, ps me puse a multiplicarlo
ResponderBorrarPues sí en una competencia no importa si lo puedes generalizar o no, lo único que importa es contestar el problema en mano. Si lo multiplicas todo correctamente entonces no hay problema. Pero en este caso cometiste un error. Al irte por la talacha, cometer un error en la multiplicación es grave porque es difícil generar puntos parciales.
ResponderBorrarListo, hasta que al fin me salio, despues de tanta talacha y maneras irrelevantes esta fue la que funciono
ResponderBorrarLo ideal era encontrar como eliminar todos esos numeros y sacar algo mas trabajable
http://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/Problema%20Blog%20050910/?action=view¤t=ProblemadelBlog050910.jpg
Muy bien Irving!
ResponderBorrarEstá muy padre tu solución, bien hecho.
ResponderBorrarMomento... todavia no esta bien, el numero que utilizaste para quitar los denominadores tiene cosas de mas, pero en esencia esta bien, nomas corrige ese pequeño error jeje
ResponderBorrarSi es cierto, ni cuenta.
ResponderBorrarEl factor extra debe ser $\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}\times\frac{6}{7}\times\ldots\times\frac{100}{101}$.
Si ya me di cuenta, era un typo, esa expresion k dijo Quique era lo que yo quería decir jeje.
ResponderBorrarSi descomponemos en factores primos el numerador y el denominador y simplificamos queda: $\frac{3^4*11*13*17*19*31*53*59*61*67*71*73*79*83*89*97}{2^97}$, luego, cada factor del numerador lo sustituimos por la potencia de base 2 inmediatamente superior y nos queda $\frac{2^85}{2^97]=$\frac{1}{2^12} esta fracción es mayor que la original, pero menor que $\frac{1}{\sqrt{2^8} que es igual a 1/(2^4) esta fracción es menor que 1/((101)^(1/2)) y aún así es mayor que 1/(2^12) que a su vez es mayor que la original
ResponderBorrarSi sustituyes la potencia de 2 inmediatamente superior te quedaría $2^{97}$ en el numerador. Hiciste mal las cuentas.
ResponderBorrarTienes razón, seguiré participando
ResponderBorrarSi agrupamos de 2 en 2 los factores del numerador y los sustituimos por la potencia de 2 inmediatamente superior, entonces quedaría 2^92 en el numerador y ya el resto del argumento se podría quedar igual
ResponderBorrar