Encuentra todas las parejas de numeros enteros (p,q) tales que la diferencia entre las dos soluciones de la ecuación x2+px+q=0 sea 2010.
Me alegra la cantidad de respuesta que han recibido estos problemas, sigan asi o mejor. Tambien es buena idea que no solamente hagan los problemas que les ponemos en el blog, ahi tienen folletos con un monton de problemas y si quieren todavia mas problemas solamente avisen.
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ResponderBorrarusamos la formula general en
ResponderBorrarx2+px+q=0
a=1, b=p, c=q
x=−p±√p2−4q2
eso lo separamos en las dos soluciones, y las restamos, que es lo que nos tiene que dar 2010
−p+√p2−4q2−−p−√p2−4q2 = 2010
−p+p+√p2−4q+√p2−4q2 = 2010
2√p2−4q2 = 2010
√p2−4q = 2010
p2−4q = 20102 = 4040100
como 4040100 es multiplo de 4, y -4q tambien, p2 es multiplo de cuatro, asi que p es par
ya tomando en cuenta esto, y viendo como se comportan, en general:
p = 2010 + 2n
q = (p-n) * n
n siendo cualquier numero entero
algunas parejas que cumplen son:
(2006, -4016)
(2008, -2009)
(2010, 0)
(2012, 2011)
(2014, 4024)
(2016, 6039)
(2018, 8056)
tambien puedo decir que
x(1) = -n
x(2) = -2010-n
FIN
al fin pude ponerlo bien en latex :D
ResponderBorraresta dificil tanto codigo pero ya le estoy agarrando
p = 2010 + 2n
ResponderBorrarq = (p-n) * n
p = 2010 + 2n
q = (2010+n)*n
si sustituyes eso en
−p+√p2−4q2−−p−√p2−4q2
y lo desarrollas con algebra si te da 2010 :)
Luis Alonso:
ResponderBorrarx2+(p)x+q=0
usamos la formula general para encontrar las 2 soluciones, luego las restamos hacemos un poco de algebra y nos queda
p2−4q=20102
p2−20102=4q
2010=2(1005)
20102=4(10052)
p2−4(10052)=4q
tenemos que 2 divide a p2
entonces 2 divide a p
esto se debe a que en una
combinacion lineal el mcd de 2 de esos numeros
tambien divide a el otro numero
por ejemplo
ax+by=c
tienen solucion si (a,b)=d
y d divide a c
(esta en la pagina 46 del libro de teoria de
numeros jeje es que lo he estado leyendo)
tenemos a p=2m
p2=4m2
m2−10052=q
(m+1005)(m−1005)=q
si a m le pongo un valor cualquiera, siempre
tendra una solucion para q
p=2m y q=(m+1005)(m−1005)
si hay algo mal me avisan ok
Luis alonso:
ResponderBorrarcuando seran los proximos entrenamientos?
a mi ia me salio mi solucion, tratare de subirla en photobucket tan pronto arregle mi scaner :S
ResponderBorrarpero io mas bn use diferencia de cuadrados y lo dividi por casos, en fin mañana tratare de mostrarselas
ResponderBorraraqui esta mi solucion:
ResponderBorrarpara que en la ecuacion x^2+px+q=0 la diferencia entre los valores de x sea 2010 se necesita ademas de que tengan de diferencia 2010 tambien que sean del mismo signo para que el valor de "q" sea positivo y para que "px" sea tambien positivo se necesita que sean negativos ya que al pasar los valores de "x" a la eciacion se cambian de signo
con estas reglas encontre que la primera pareja de valores de "x" -1 y -2011 y llevando la eciacion a la inversa los valores quedan asi:
p= 2012
q= 2011
la segunda pareja de valores de "x" es -2 y -2012 y queda asi:
p= 2014
q= 4024
segui sacando los siguientes valores de "p" y "q" y vi que los valores de "p" iban de 2 en 2 pero los de "q" seguian otras reglas
ResponderBorrarprimero le tenias que restar el valor de la "x" mas pequeña(pero cambiandole el signo a positivo) porque ese numero fue el que se le sumo llevando la ecuacion a la inversa y luego al numero resultante lo multiplicabas otra vez por el valor de la "x" pequeña porque en la ecuacion a la inversa lo tenias que multiplicar quedando asi=
p= cualquier par mayor que 2010
q= (p-x)(x)
pero como no puedes encontrar los valores de "x" hasta tener los valores de "p" y "q" tuve que buscar otra ecuacion quedando el resultado:
las parejas que cumplen son infinitas y la forma de encontrarlas es:
p= cualquier numero par mayor que 2010
q= {p-[(p-2010)/2 ]}[(p-2010)/2 ]
Aquí esta mi solución:
ResponderBorrarhttp://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/Problema%20del%20blog%20020910/?action=view¤t=OLIM-HOJA-1001x.jpg#!oZZ1QQcurrentZZhttp%3A%2F%2Fs818.photobucket.com%2Falbums%2Fzz106%2FGrinver%2FProblema%2520del%2520blog%2520020910%2F%3Faction%3Dview%26current%3DOLIM-HOJA-1001x.jpg%26
Tambien me falto indicar el caso de q=0, donde p=2010. Entonces (p,q)= (2010,0)
no puedo entrar a esos links irving :S
ResponderBorrarmi trabajo se lo envio a daniel. :)
ResponderBorraralberto eres bn rebelde gracias a mi :p
siendo honestos no pude!! intente y volvi a intentar y no me salio :( aparte no entendi como sacaron q, todo lo demas si. alberto porfavor me podrias explicar en q te basate para decir que q=(p-n)*n?? gracias
ResponderBorrarPrimero hay que sacar las dos soluciones de la ecuacion por formula general:
ResponderBorrarx=[-p±√(p^2-4q(1))]/(2(1))
de ahi se restan las dos soluciones:
[-p+√(p^2-4q(1))]/(2(1)) - [-p±√(p^2-4q(1))]/(2(1))
Despues de simplificar varias veces llegamos a:
(p^2)-4q=2010^2
(p^2)-4q=4040100
p^2=4q+4040100
p^2=4(q+1010025)
De esto podemos llegar, despues de varios intentos, que:
p = 2 n, q = n^2-1010025
siendo n cualquier numero
yo llame a r y s las soluciones de la ecuacion x2+px+q entonces r−s=2010 si factorizaramos la ecuacion veriamos que las soluciones estarian asi (x−r)(x−s) y si lo desplegaramos se veria asi X2−(r+s)x+rs pero esto es igual a X2+px+q por lo que p=−(r+s) y q=rs, despejando la resta de r y ese obtenemos que r=s+2010 por lo que se puede sustituir en las formulas de p y q
ResponderBorrarp=−(2s+2010) y $q = s(s + 2010)
@leonardo:
ResponderBorrarporque le mandas los problemas a daniel si isai es el que los esta poniendo en el blog??
uy si claro!
@neil:
pues en nada la verdad xD, solo vi algunos casos y me invente una formula que cumpliera para todos, y eso fue lo que me salio, despues los sustitui en la formula general, y como si me dio 2010, es correcta :P
Mmmm, nada de que mi trabajo se lo envió a x o y persona, tienen que ponerlo aquí, COMO TODOS LOS DEMAS, si su trabajo no aparece en el blog, no estan trabajando y punto.
ResponderBorrartambien otra forma es a partir de
ResponderBorrarp2−4q = 20102
teniamos que p era par, asi que lo sustituimos por 2n, despejamos q y obtenemos:
p= 2n
q= n2−10052
y creo que eso es una de las varias soluciones que pusieron, aunque creo que teniendo las formulas que puse al principio es mas facil sacar q...
pues yo llegue solo a qe p^2-4q=2010^2
ResponderBorrarpero de ahi ya no supe que hacer.
y no le entendia a las demas soluciones hasta que vi lo que puso alberto de que p=2n
pero si lo intentee :D
Usamos fórmula general para encontrar x1 y x2
ResponderBorrarluego las restamos para encontrar la expresión de la diferencia y nos queda
√p2−4q=2010
p2−4q=20102
4 divide a 2010 y a 4q => 4 divide a p2
entonces p es par, p=2k
k2−10052=q para cualquier valor de k podemos determinar q usando la ecuación y p con la igualdad p=2k
PS: como se escribe el simbolo de "divide a" en el teclado???