Encuentra todas las parejas de numeros enteros $(p,q)$ tales que la diferencia entre las dos soluciones de la ecuación $x^2+px+q=0$ sea 2010.
Me alegra la cantidad de respuesta que han recibido estos problemas, sigan asi o mejor. Tambien es buena idea que no solamente hagan los problemas que les ponemos en el blog, ahi tienen folletos con un monton de problemas y si quieren todavia mas problemas solamente avisen.
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ResponderBorrarusamos la formula general en
ResponderBorrar$x^2+px+q=0$
a=1, b=p, c=q
$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$
eso lo separamos en las dos soluciones, y las restamos, que es lo que nos tiene que dar 2010
$\frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2} - \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$ = 2010
$\frac{-p+p + \sqrt{p^2 - 4q} + \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$ = 2010
$\frac{2 \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$ = 2010
$\sqrt{p^2 - 4q}$ = 2010
$p^2 - 4q$ = $2010^2$ = 4040100
como 4040100 es multiplo de 4, y -4q tambien, $p^2$ es multiplo de cuatro, asi que p es par
ya tomando en cuenta esto, y viendo como se comportan, en general:
p = 2010 + 2n
q = (p-n) * n
n siendo cualquier numero entero
algunas parejas que cumplen son:
(2006, -4016)
(2008, -2009)
(2010, 0)
(2012, 2011)
(2014, 4024)
(2016, 6039)
(2018, 8056)
tambien puedo decir que
x(1) = -n
x(2) = -2010-n
FIN
al fin pude ponerlo bien en $latex$ :D
ResponderBorraresta dificil tanto codigo pero ya le estoy agarrando
p = 2010 + 2n
ResponderBorrarq = (p-n) * n
p = 2010 + 2n
q = (2010+n)*n
si sustituyes eso en
$\frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2} - \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$
y lo desarrollas con algebra si te da 2010 :)
Luis Alonso:
ResponderBorrar$x^2+(p)x+q=0$
usamos la formula general para encontrar las 2 soluciones, luego las restamos hacemos un poco de algebra y nos queda
$p^2-4q=2010^2$
$p^2-2010^2=4q$
$2010=2(1005)$
$2010^2=4(1005^2)$
$p^2-4(1005^2)=4q$
tenemos que $2$ divide a $p^2$
entonces $2$ divide a $p$
esto se debe a que en una
combinacion lineal el mcd de 2 de esos numeros
tambien divide a el otro numero
por ejemplo
$ax+by=c$
tienen solucion si $(a,b)=d$
y $d$ divide a $c$
(esta en la pagina 46 del libro de teoria de
numeros jeje es que lo he estado leyendo)
tenemos a $p=2m$
$p^2=4m^2$
$m^2-1005^2=q$
$(m+1005)(m-1005)=q$
si a $m$ le pongo un valor cualquiera, siempre
tendra una solucion para $q$
$p=2m$ y $q=(m+1005)(m-1005)$
si hay algo mal me avisan ok
$Luis$ alonso:
ResponderBorrar$cuando$ seran $los$ proximos $entrenamientos?$
a mi ia me salio mi solucion, tratare de subirla en photobucket tan pronto arregle mi scaner :S
ResponderBorrarpero io mas bn use diferencia de cuadrados y lo dividi por casos, en fin mañana tratare de mostrarselas
ResponderBorraraqui esta mi solucion:
ResponderBorrarpara que en la ecuacion x^2+px+q=0 la diferencia entre los valores de x sea 2010 se necesita ademas de que tengan de diferencia 2010 tambien que sean del mismo signo para que el valor de "q" sea positivo y para que "px" sea tambien positivo se necesita que sean negativos ya que al pasar los valores de "x" a la eciacion se cambian de signo
con estas reglas encontre que la primera pareja de valores de "x" -1 y -2011 y llevando la eciacion a la inversa los valores quedan asi:
p= 2012
q= 2011
la segunda pareja de valores de "x" es -2 y -2012 y queda asi:
p= 2014
q= 4024
segui sacando los siguientes valores de "p" y "q" y vi que los valores de "p" iban de 2 en 2 pero los de "q" seguian otras reglas
ResponderBorrarprimero le tenias que restar el valor de la "x" mas pequeña(pero cambiandole el signo a positivo) porque ese numero fue el que se le sumo llevando la ecuacion a la inversa y luego al numero resultante lo multiplicabas otra vez por el valor de la "x" pequeña porque en la ecuacion a la inversa lo tenias que multiplicar quedando asi=
p= cualquier par mayor que 2010
q= (p-x)(x)
pero como no puedes encontrar los valores de "x" hasta tener los valores de "p" y "q" tuve que buscar otra ecuacion quedando el resultado:
las parejas que cumplen son infinitas y la forma de encontrarlas es:
p= cualquier numero par mayor que 2010
q= {p-[(p-2010)/2 ]}[(p-2010)/2 ]
Aquí esta mi solución:
ResponderBorrarhttp://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/Problema%20del%20blog%20020910/?action=view¤t=OLIM-HOJA-1001x.jpg#!oZZ1QQcurrentZZhttp%3A%2F%2Fs818.photobucket.com%2Falbums%2Fzz106%2FGrinver%2FProblema%2520del%2520blog%2520020910%2F%3Faction%3Dview%26current%3DOLIM-HOJA-1001x.jpg%26
Tambien me falto indicar el caso de q=0, donde p=2010. Entonces (p,q)= (2010,0)
no puedo entrar a esos links irving :S
ResponderBorrarmi trabajo se lo envio a daniel. :)
ResponderBorraralberto eres bn rebelde gracias a mi :p
siendo honestos no pude!! intente y volvi a intentar y no me salio :( aparte no entendi como sacaron q, todo lo demas si. alberto porfavor me podrias explicar en q te basate para decir que q=(p-n)*n?? gracias
ResponderBorrarPrimero hay que sacar las dos soluciones de la ecuacion por formula general:
ResponderBorrarx=[-p±√(p^2-4q(1))]/(2(1))
de ahi se restan las dos soluciones:
[-p+√(p^2-4q(1))]/(2(1)) - [-p±√(p^2-4q(1))]/(2(1))
Despues de simplificar varias veces llegamos a:
(p^2)-4q=2010^2
(p^2)-4q=4040100
p^2=4q+4040100
p^2=4(q+1010025)
De esto podemos llegar, despues de varios intentos, que:
p = 2 n, q = n^2-1010025
siendo n cualquier numero
yo llame a $r$ y $s$ las soluciones de la ecuacion $x^2+px+q$ entonces $r-s = 2010$ si factorizaramos la ecuacion veriamos que las soluciones estarian asi $(x-r)(x-s)$ y si lo desplegaramos se veria asi $X^2 -(r+s)x + rs$ pero esto es igual a $X^2+px+q$ por lo que $p= -(r+s)$ y $q=rs$, despejando la resta de r y ese obtenemos que $r = s + 2010$ por lo que se puede sustituir en las formulas de p y q
ResponderBorrar$p = -(2s + 2010)$ y $q = s(s + 2010)
@leonardo:
ResponderBorrarporque le mandas los problemas a daniel si isai es el que los esta poniendo en el blog??
uy si claro!
@neil:
pues en nada la verdad xD, solo vi algunos casos y me invente una formula que cumpliera para todos, y eso fue lo que me salio, despues los sustitui en la formula general, y como si me dio 2010, es correcta :P
Mmmm, nada de que mi trabajo se lo envió a x o y persona, tienen que ponerlo aquí, COMO TODOS LOS DEMAS, si su trabajo no aparece en el blog, no estan trabajando y punto.
ResponderBorrartambien otra forma es a partir de
ResponderBorrar$p^2 - 4q$ = $2010^2$
teniamos que p era par, asi que lo sustituimos por 2n, despejamos q y obtenemos:
p= 2n
q= $n^2 - 1005^2$
y creo que eso es una de las varias soluciones que pusieron, aunque creo que teniendo las formulas que puse al principio es mas facil sacar q...
pues yo llegue solo a qe p^2-4q=2010^2
ResponderBorrarpero de ahi ya no supe que hacer.
y no le entendia a las demas soluciones hasta que vi lo que puso alberto de que p=2n
pero si lo intentee :D
Usamos fórmula general para encontrar $x_1$ y $x_2$
ResponderBorrarluego las restamos para encontrar la expresión de la diferencia y nos queda
$\sqrt{p^2-4q}=2010$
$p^2-4q=2010^2$
4 divide a 2010 y a 4q $=>$ 4 divide a $p^2$
entonces p es par, $p=2k$
$k^2-1005^2=q$ para cualquier valor de $k$ podemos determinar $q$ usando la ecuación y $p$ con la igualdad $p=2k$
PS: como se escribe el simbolo de "divide a" en el teclado???