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lunes, 20 de septiembre de 2010
Problema del día: 20 Sep
Los divisores positivos del número $24$ son $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$. Su producto es $331776$. ¿Qué se obtiene de multiplicar todos los divisores del número $400$?
Vemos cada factor de los divisores. El $2^0$ aparece tres veces, por $5^{0,1,2}$ El $2^1$ tambien tres veces, por $5^{0,1,2}$ Y asi tambien con las demas potencias de dos. Lo mismo hacemos con las potencias de cinco, cada una aparece 6 veces.
Los factores de todo número natural positivos se pueden agrupar en binas, de manera que al multiplicarlos dará dicho número natural, y al multiplicarlos todos, dara el mismo numero natural, pero a la n potencia, siendo n el número de parejas de factores. Una excepción pudiera ser los cuadrados perfectos, ya que, la raiz cuadrada es un solo factor, y no se puede multiplicar por ningun otro factor mas que simismo para obtener el número, así que la raiz cuadrada se cuenta como dos factores (el mismo número dos veces). Dicho caso es el que tenemos aqui. 400 tiene 15 factores: 1,2,4,5,8,10,16,20,25,40,50,80,100,200,400 Todos estos números se ponen en parejas empezando por los extremos, el primero y el último, en este caso el décimo quinto; después los siguientes, el segundo y el décimo cuarto, y así nos vamos. De ésta forma vamos a formar 7 parejas, quedando el 20 solo. Éste lo multiplicamos por simismo, y nos quedan 8 parejas de numeros, y al multiplicar los miembros de cada uno se obtiene el 400 8 veces. Como estos 400´s los multiplicamos entre si nos queda: 400^8=(4^8)(100^8)=655,360,000,000,000,000,000
Error, no se multiplica el 20 dos veces por que eso ya nos daría un factor demás que no necesitamos, asi que todo lo que hay que hacer es dividir el numerote entre 20 y nos queda: 32,768,000,000,000,000,000
Pues hice lo mismo. Saqué los divisores del 400, luego los factoricé en términos de 2 y 5.. y me quedó que era 2^30·5^15 que te da 32768000000000000000:)
el problema ya esta muy resuelto, pero para las de hector: 1) \[2^{(\frac{\alpha\cdot \alpha +1}{2})(\beta +1)}\cdot 5^{(\frac{\beta \cdot \beta +1}{2})(\alpha +1)}\]
el nummero de divisores de $N=P^{\alpha_1}_1 P^{\alpha_2}_2 \cdots P^{\alpha_K}_K$
es $\tau=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_k+1)$
si escogemos uno de los primos
$P{\alpha_k}_m$ vemos que aparece en los divisiores como
$P^0_k$ $P^1_k$ $P^2_k$
...
$P^{\alpha_k}_k$ y cada uno de ellos aparecera el numero de divisores que se tienes con los otros primos que no utilizamos y tendriamos $P^0_k ^{(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_{k-1}+1)}$ $P^1_k ^{(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_{k-1}+1)}$ $P^2_k ^{(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_{k-1}+1)}
Aprovechando la idea de Luis Carlos García Ramos de agrupar por binas los divisores se puede llegar a la fórmula general para el producto de los divisores de un número N: Raíz cuadrada de: N elevado a una potencia de exponente igual al número de divisores de N
si listamos los divisores de un número de menor a mayor, si tomamos el último con el primero nos dará n en este caso 400, tendremos 7 parejas cuyo valor es = 400= 20^2 entonces tendremos (20^2)^7 por 20 que es la raíz cuadrada que se queda sola = 20^15
$400 = 2^5 \times 5^2$
ResponderBorrarLos divisores de 400 son
$2^m \times 5^n$
m= 0,1,2,3,4,5
n= 0,1,2
Con esto vemos que hay 6*3= 18 divisores
Vemos cada factor de los divisores.
El $2^0$ aparece tres veces, por $5^{0,1,2}$
El $2^1$ tambien tres veces, por $5^{0,1,2}$
Y asi tambien con las demas potencias de dos.
Lo mismo hacemos con las potencias de cinco, cada una aparece 6 veces.
El producto va a ser:
$P = 2^{0 \times 3} * 2^{1 \times 3} * \dots * 5^{2 \times 6}$
$P = 2^0 * 2^3 * 2^6 * \dots * 5^{12}$
$P = 2^{0+3+ \dots +15} \times 5^{0+6+12}$
$P = 2^{45} \times 5^{18}$
y pues creo que eso ya es una cosa muy grande...
a mi me salio diferente
ResponderBorraryo dividi el 400 en sus divisores
1,2,4,5,8,10,16,20,25,40,50,80,100,200,400.
despues los descompuse en sus primos 2 y 5
y me quedo:
(1)*2*(2)^2*5*(2)^3*(2)(5)*(2)^4*(2)^2(5)*(5)^2*(2)^3(5)*(2)(5)^2*(2)^4(5)*(2)^2(5)^2*(2)^3(5)^2*(2)^4(5)^2.
eso se puede simplificar:
2^30 * 5^15
y esto es igual a=
2^15 * 2^15 * 5^15
y eso es igual a=
2^15 * 10^15
y 2^15 es:
32,768
y 10^15 es:
1,000,000,000,000,000
y los dos mltiplicados son:
32,768,000,000,000,000,000
$400=(2^4)(5^2)$
ResponderBorrarsus multiplos son
$2^0(5^0)$ $2^0(5^1)$ $2^0(5^2)$
$2^1(5^0)$ $2^1(5^1)$ $2^1(5^2)$
$2^2(5^0)$ $2^2(5^1)$ $2^2(5^2)$
$2^3(5^0)$ $2^3(5^1)$ $2^3(5^2)$
$2^4(5^0)$ $2^4(5^1)$ $2^4(5^2)$
el producto de todos ellos es:
$2^30(5^15)$
o 32,768,000,000,000,000,000
jeje
Luis Ponce
:S:S
ResponderBorrarme equivoque, eso era para el 800
para el 400 hago lo mismo y tengo
$P = 2^{(0+1+2+3+4)3} \times 5^{(0+1+2)5}$
$P = 2^{(10)3} \times 5^{(3)5}$
$P = 2^{30} \times 5^{15}$
$P = 32,768,000,000,000,000,000$
y eso ahora si esta bien :)
Ohh que bien, ya 200 posts!, y ojala sean muchos mas
ResponderBorrartenemos que los factores del 400 son...
ResponderBorrar$2^4$ $5^2$
los divisores de 400 son
$(1,2,4,5,8,10,16,20,25,40,50,80,100,200,400)$
si los descomponemos en sus factores nos qeda...
$$((1)(2)(2^2)(5)(2^3)(2*5)(2^4)(2^2*5)(5^2)(2^3*5)(2*5^2)(2^4*5)(2^2*5^2)(2^3*5^2)(2^4*5^2))$$
esto nos qeda
$(2^30)$ $(5^15)$
y si lo desarrollamos nos qeda
$(32,768,000,000,000,000,000)$
Bien hecho Neil, Alonso y Alberto.
ResponderBorraralberto muy buena explicación, lástima que tuviste ese error en el primer post.
jeje si, mejor editen el problema y ponganle 800 :P
ResponderBorrar400= 2^4 * 5^2
ResponderBorrarusando solo el 2 tenemos:
2*4*8*16=1024
usando solo un 5 y los 2 tenemos:
5*10*20*40*80=3200000
usando 5^2 y los 2 tenemos:
25*50*100*200*400=10000000000
y multiplicando los 3 casos anteriores nos queda:
10000000000*3200000*1024=
32768000000000000000
Los factores de todo número natural positivos se pueden agrupar en binas, de manera que al multiplicarlos dará dicho número natural, y al multiplicarlos todos, dara el mismo numero natural, pero a la n potencia, siendo n el número de parejas de factores. Una excepción pudiera ser los cuadrados perfectos, ya que, la raiz cuadrada es un solo factor, y no se puede multiplicar por ningun otro factor mas que simismo para obtener el número, así que la raiz cuadrada se cuenta como dos factores (el mismo número dos veces). Dicho caso es el que tenemos aqui. 400 tiene 15 factores:
ResponderBorrar1,2,4,5,8,10,16,20,25,40,50,80,100,200,400
Todos estos números se ponen en parejas empezando por los extremos, el primero y el último, en este caso el décimo quinto; después los siguientes, el segundo y el décimo cuarto, y así nos vamos. De ésta forma vamos a formar 7 parejas, quedando el 20 solo. Éste lo multiplicamos por simismo, y nos quedan 8 parejas de numeros, y al multiplicar los miembros de cada uno se obtiene el 400 8 veces. Como estos 400´s los multiplicamos entre si nos queda:
400^8=(4^8)(100^8)=655,360,000,000,000,000,000
Error, no se multiplica el 20 dos veces por que eso ya nos daría un factor demás que no necesitamos, asi que todo lo que hay que hacer es dividir el numerote entre 20 y nos queda:
ResponderBorrar32,768,000,000,000,000,000
Pues hice lo mismo.
ResponderBorrarSaqué los divisores del 400, luego los factoricé en términos de 2 y 5.. y me quedó que era 2^30·5^15 que te da 32768000000000000000:)
Primero tenemos que 400=2^4 x 5^2
ResponderBorrarEntonces el numero de divisores es (4+1)(2+1)=15
Los divisores son:2^0x5^0, 2^1x5^0,2^2x5^0, 2^3x5^0,2^4x5^0, 2^0x5^1, 2^0x5^2, 2^1x5^1,2^1x5^2,2^2x5^1,2^2x5^2,2^3x5^1,2^3x5^2, 2^4x5^1,2^4x5^2
El producto nomas sería agregar todos las potencias de 2 y 5 (2^m x 2^n = 2^m+n y 5^m x 5^n=5^n+m)
Entonces el producto total es 2^30 x 5^15
Y en general??
ResponderBorrar...cuanto seria el resultado
Si:
i) $N=2^\alpha \times 5^\beta$
ii) $N=p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times... \times p_k^{\alpha_k}$
eloy y david
ResponderBorrarcomo 400 es igual a (2^4)(5^2)
los factores pueden ser
2^4*5^2
2^4*5
2^3*5^2
2^4
2^3*5
2^2*5^2
2^3
2^2*5
2*5^2
2^2
2*5
5^2
2
5
entonces si sumamos los exponentes de cada factor tenemos 2^30*5^15 que es 32768000000000000000
el problema ya esta muy resuelto, pero para las de hector:
ResponderBorrar1)
\[2^{(\frac{\alpha\cdot \alpha +1}{2})(\beta +1)}\cdot 5^{(\frac{\beta \cdot \beta +1}{2})(\alpha +1)}\]
2)
\[P1^{(\frac{\alpha\cdot \alpha +1}{2})(\alpha_1 +1)(\alpha_2 +1)\cdots (\alpha_k +1)}\cdot P2^{(\frac{\alpha\cdot \alpha +1}{2})(\alpha_2 +1)(\alpha_3 +1)\cdots (\alpha_k +1)}\cdots Pk^{(\frac{\alpha_k\cdot \alpha_k +1}{2})(\alpha_1 +1)(\alpha_2 +1)\cdots (\alpha_{k-1} +1)}\]
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ResponderBorrari) pues haciendo lo mismo da:
ResponderBorrar$P = 2^{(0+ \dots + \alpha) \times ( \beta +1)} \times 5^{(0+ \dots + \beta) \times ( \alpha +1)}$
$P = 2^{ \frac{ \alpha ( \alpha +1 )}{2} \times ( \beta +1)} \times 5^{ \frac{ \beta ( \beta +1 )}{2} \times ( \alpha +1)}$
ii) en vez de multiplicarlo solo por la potencia de 5, lo hacemos por las potencias de todos los otros primos:
$P = p_1^{(0+ \dots + \alpha_1)( \alpha_2 +1)( \alpha_3 +1) \dots ( \alpha_k +1)} \times p_2^{(0+ \dots + \alpha_2)( \alpha_1 +1)( \alpha_3 +1) \dots ( \alpha_k +1)} \times \dots \times p_k^{(0+ \dots + \alpha_k)( \alpha_1 +1)( \alpha_2 +1) \dots ( \alpha_{k-1} +1)}$
$P = p_1^{( \frac {\alpha_1 \times ( \alpha_1 +1)}{2})( \alpha_2 +1)( \alpha_3 +1) \dots ( \alpha_k +1)} \times p_2^{( \frac {\alpha_2 \times ( \alpha_2 +1)}{2})( \alpha_1 +1)( \alpha_3 +1) \dots ( \alpha_k +1)} \times \dots \times p_k^{( \frac {\alpha_k \times ( \alpha_k +1)}{2})( \alpha_1 +1)( \alpha_2 +1) \dots ( \alpha_{k-1} +1)}$
mucho latex :S:S:S
el nummero de divisores de $N=P^{\alpha_1}_1
ResponderBorrarP^{\alpha_2}_2 \cdots P^{\alpha_K}_K$
es $\tau=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_k+1)$
si escogemos uno de los primos
$P{\alpha_k}_m$ vemos que aparece en los divisiores como
$P^0_k$
$P^1_k$
$P^2_k$
...
$P^{\alpha_k}_k$
y cada uno de ellos aparecera el numero de divisores que se tienes con los otros primos que no utilizamos
y tendriamos
$P^0_k ^{(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_{k-1}+1)}$
$P^1_k ^{(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_{k-1}+1)}$
$P^2_k ^{(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_{k-1}+1)}
...
P^{\alpha_k}_k ^{(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_{k-1}+1)}$
y si multiplicamos todo eso nos da como resultado
$P^{(\frac{\alpha_k}{2})(\alpha_1+1)}_k ^{(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_{k-1}+1)}$
y asi seria con cada primo
espero y se entienda jeje es que queria poner algo diferente
LUIS PONCE
Aprovechando la idea de Luis Carlos García Ramos de agrupar por binas los divisores se puede llegar a la fórmula general para el producto de los divisores de un número N:
ResponderBorrarRaíz cuadrada de: N elevado a una potencia de exponente igual al número de divisores de N
400=(2^4)(5^2)
ResponderBorrartao de 400= 5x3=15
si listamos los divisores de un número de menor a mayor, si tomamos el último con el primero nos dará n en este caso 400, tendremos 7 parejas cuyo valor es = 400= 20^2 entonces tendremos (20^2)^7 por 20 que es la raíz cuadrada que se queda sola = 20^15