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viernes, 24 de septiembre de 2010
Problema del dia (24 Sept)
Dados cualesquiera $15$ numeros enteros positivos:
como cualesquiera dos son primos relativos, no se repite el mismo primo en dos de las $a$s vemos el primo menor en cada uno de ellos el mayor de esos primos va a ser $p \geq 47$ porque es el 15vo primo el que tenga ese primo para no ser todo el numero primo, va a ser multiplicado por otro primo, y como $p$ es el menor, el otro primo va a ser mayor igual a 47, asi que $a_k \geq 47^2 = 2209$ pero ninguno era mayor a 2010, por lo que al menos uno va a ser primo, que sera el que tenga el menor primo mas grande
por lo tanto todas las a's son compuestas y primas relaivas, queremos agarrar 5 a's de esta forma asi que escojeremos las mas pequeñenas para tratar que no se pase de 2010. como las a's son compuestas son factorizables por almenos 2 primos, y la forma mas pequeña de agarrarlas seria, los primos al cuadrado etonces:
\[a_1=2^2\]
\[a_2=3^2\]
\[a_3=5^2\] . . .
\[a_15=47^2\]
47 al cuadrado es 2209, y se paso de 2010 :\ por lo tanto al menos una a tendra que ser prima si queremos que sean primas relatvas entre si
por contradicción suponemos que no hay primos entre 15 números que cumplen la condición, entonces todos son compuestos, producto de más de un primo, vemos que la raíz cuadrada de 2010 es menor que 47, entonces cualquier número menor que 2010 tendrá algun factor primo menor a 47, hay 14 primos antes que este por lo tanto por casillas hay dos números que tienen el mismo primo ... contradicción.. entonces no pueden ser todos compuestos.
los primeros 15 numeros primos son: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 47 entonces una forma de que todos los numeros sean compuestos y primos relativos, es elevarlos al cuadrado, pero 47^2>2010 entonces no todos pueden ser compuestos
Este comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderBorrarcomo cualesquiera dos son primos relativos, no se repite el mismo primo en dos de las $a$s
ResponderBorrarvemos el primo menor en cada uno de ellos
el mayor de esos primos va a ser $p \geq 47$ porque es el 15vo primo
el que tenga ese primo para no ser todo el numero primo, va a ser multiplicado por otro primo, y como $p$ es el menor, el otro primo va a ser mayor igual a 47, asi que $a_k \geq 47^2 = 2209$
pero ninguno era mayor a 2010, por lo que al menos uno va a ser primo, que sera el que tenga el menor primo mas grande
Muy bien Alberto.
ResponderBorrardigamos que no hay ningn primo entre
ResponderBorrar\[a_1,a_2,a_3\cdots a_{15}\]
por lo tanto todas las a's son compuestas y primas relaivas, queremos agarrar 5 a's de esta forma asi que escojeremos las mas pequeñenas para tratar que no se pase de 2010.
como las a's son compuestas son factorizables por almenos 2 primos, y la forma mas pequeña de agarrarlas seria, los primos al cuadrado etonces:
\[a_1=2^2\]
\[a_2=3^2\]
\[a_3=5^2\]
.
.
.
\[a_15=47^2\]
47 al cuadrado es 2209, y se paso de 2010 :\ por lo tanto al menos una a tendra que ser prima si queremos que sean primas relatvas entre si
por contradicción suponemos que no hay primos entre 15 números que cumplen la condición, entonces todos son compuestos, producto de más de un primo, vemos que la raíz cuadrada de 2010 es menor que 47, entonces cualquier número menor que 2010 tendrá algun factor primo menor a 47, hay 14 primos antes que este por lo tanto por casillas hay dos números que tienen el mismo primo ... contradicción.. entonces no pueden ser todos compuestos.
ResponderBorrarhttp://s803.photobucket.com/albums/yy320/alonso_0293/?action=view¤t=24desep.jpg
ResponderBorrarLuis Alonso
los primeros 15 numeros primos son:
ResponderBorrar2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 47
entonces una forma de que todos los numeros sean compuestos y primos relativos, es elevarlos al cuadrado, pero 47^2>2010 entonces no todos pueden ser compuestos
http://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/Problema%20Blog%20240910/?action=view¤t=ProblemaBlog24-09-10.jpg
ResponderBorrarAquí esta mi solución, disculpen mi tardanza en poner la solución
http://picasaweb.google.com/lh/photo/aFu1EGrcakXHk_j9oncUZGzY3-qDUM5OlqEu_XVViso?feat=directlink
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