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sábado, 25 de septiembre de 2010
Problema del día. (25 sept)
Dado un número primo demostrar que no puede ser un cuadrado perfecto.
yo lo hize mod 3 primero veamos como funciona cada uno de los terminos mod 3 21≡2mod3 22≡1mod3 23≡2mod3 24≡1mod3 et... 31≡0mod3 32≡0mod3 33≡0mod3 34≡0mod3 etc.. x2≡0,1mod3
entonces: si p es impar la suma de 2p+3p≡2mod3 si p es par la suma de 2p+3p≡1mod3
entonces ya eliminamos a todas las p impares y nos quedan las pares, pero como p es primo la niqua p par posible es 2, y este es un caso particular: 22+32=4+9=13 y 13 no es cuadrado perfecto, y con eso queda la demostracion
Amm pues a mi se me olvidó que p era primo jaja... así que dividí los casos en p=par p=impar
para p impar vemos mod 3 y nos queda que 2p+3p es congruente a 2 mod3, lo cual no es posible si queremos que sea un cuadrado.
para p par vemos mod 5, 2^4^k^+^2 es congruente a -1 mod 5 y 3^4^k^+^2 tambien es congruente a -1. si los sumamos nos da -2 o 3, pero los cuadrados modulo 5 son congruentes a 0,1 y -1
2^4^k y 3^4^k son congruentes a 1 mod 5, por lo tanto su suma es congruente a 2, lo cual no se puede.
demostrar que
no puede ser un cuadrado perfecto.
vemos el problema en mod 4
ResponderBorrarx≡0,1,2,3(mod4)
x2≡0,1(mod4)
Vemos 2p
cualquier potencia de 2, excepto con 1 o menos va a ser multiplo de 4, asi que
2p≡0(mod4)
Ahora 3p
31≡3(mod4)
32≡1(mod4)
33≡3(mod4)
34≡1(mod4)
Y asi se va ciclando, todos los impares van a ser ≡3(mod4) y los pares ≡1(mod4)
Cuando es par, el unico primo es 2 y lo vemos como un caso individual:
22+32=4+9=13
y 13 no es cuadrado perfecto
Ahora vemos todos los otros casos, cuando los primos son impares:
2p+3p≡0+3≡3(mod4)
pero teniamos que los cuadrados son ≡0,1(mod4)
y como esa suma es ≡3(mod4) no va a ser cuadrado perfecto
:)
y hoy no es 26 ;)
ResponderBorraryo lo hize mod 3
ResponderBorrarprimero veamos como funciona cada uno de los terminos mod 3
21≡2mod3
22≡1mod3
23≡2mod3
24≡1mod3
et...
31≡0mod3
32≡0mod3
33≡0mod3
34≡0mod3
etc..
x2≡0,1mod3
entonces:
si p es impar la suma de 2p+3p≡2mod3
si p es par la suma de 2p+3p≡1mod3
entonces ya eliminamos a todas las p impares y nos quedan las pares, pero como p es primo la niqua p par posible es 2, y este es un caso particular:
22+32=4+9=13 y 13 no es cuadrado perfecto, y con eso queda la demostracion
Bien hecho Alberto y Bryan.
ResponderBorrarAqui esta mi solución
ResponderBorrarhttp://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/Problema%20Blog%2025-09-10/?action=view¤t=ProblemaBlog250910.jpg
http://s803.photobucket.com/albums/yy320/alonso_0293/?action=view¤t=25desep.jpg
ResponderBorrarLuis Alonso
http://picasaweb.google.com/lh/photo/iktn6hAbQwzxqxFsJGpuEmzY3-qDUM5OlqEu_XVViso?feat=directlink
ResponderBorrarcorrecto!
ResponderBorrarAmm pues a mi se me olvidó que p era primo jaja... así que dividí los casos en p=par p=impar
ResponderBorrarpara p impar vemos mod 3 y nos queda que 2p+3p es congruente a 2 mod3, lo cual no es posible si queremos que sea un cuadrado.
para p par vemos mod 5, 2^4^k^+^2 es congruente a -1 mod 5 y 3^4^k^+^2 tambien es congruente a -1. si los sumamos nos da -2 o 3, pero los cuadrados modulo 5 son congruentes a 0,1 y -1
2^4^k y 3^4^k son congruentes a 1 mod 5, por lo tanto su suma es congruente a 2, lo cual no se puede.