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sábado, 25 de septiembre de 2010
Problema del día. (25 sept)
Dado un número primo demostrar que no puede ser un cuadrado perfecto.
yo lo hize mod 3 primero veamos como funciona cada uno de los terminos mod 3 $2^1\equiv 2 mod 3$ $2^2\equiv 1 mod 3$ $2^3\equiv 2 mod 3$ $2^4\equiv 1 mod 3$ et... $3^1\equiv 0 mod 3$ $3^2\equiv 0 mod 3$ $3^3\equiv 0 mod 3$ $3^4\equiv 0 mod 3$ etc.. $x^2\equiv 0,1 mod 3$
entonces: si p es impar la suma de $2^p+3^p\equiv 2 mod 3$ si p es par la suma de $2^p+3^p\equiv 1 mod 3$
entonces ya eliminamos a todas las p impares y nos quedan las pares, pero como p es primo la niqua p par posible es 2, y este es un caso particular: $2^2+3^2=4+9=13$ y 13 no es cuadrado perfecto, y con eso queda la demostracion
Amm pues a mi se me olvidó que p era primo jaja... así que dividí los casos en p=par p=impar
para p impar vemos mod 3 y nos queda que $2^p+3^p$ es congruente a 2 mod3, lo cual no es posible si queremos que sea un cuadrado.
para p par vemos mod 5, $2^4^k^+^2$ es congruente a -1 mod 5 y $3^4^k^+^2$ tambien es congruente a -1. si los sumamos nos da -2 o 3, pero los cuadrados modulo 5 son congruentes a 0,1 y -1
$2^4^k$ y $3^4^k$ son congruentes a 1 mod 5, por lo tanto su suma es congruente a 2, lo cual no se puede.
demostrar que
no puede ser un cuadrado perfecto.
vemos el problema en mod 4
ResponderBorrar$x \equiv 0,1,2,3 \pmod{4}$
$x^2 \equiv 0,1 \pmod{4}$
Vemos $2^p$
cualquier potencia de 2, excepto con 1 o menos va a ser multiplo de 4, asi que
$2^p \equiv 0 \pmod{4}$
Ahora $3^p$
$3^1 \equiv 3 \pmod{4}$
$3^2 \equiv 1 \pmod{4}$
$3^3 \equiv 3 \pmod{4}$
$3^4 \equiv 1 \pmod{4}$
Y asi se va ciclando, todos los impares van a ser $\equiv 3 \pmod{4}$ y los pares $\equiv 1 \pmod{4}$
Cuando es par, el unico primo es 2 y lo vemos como un caso individual:
$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$
y 13 no es cuadrado perfecto
Ahora vemos todos los otros casos, cuando los primos son impares:
$2^p + 3^p \equiv 0 + 3 \equiv 3 \pmod{4}$
pero teniamos que los cuadrados son $\equiv 0,1 \pmod{4}$
y como esa suma es $\equiv 3 \pmod{4}$ no va a ser cuadrado perfecto
:)
y hoy no es 26 ;)
ResponderBorraryo lo hize mod 3
ResponderBorrarprimero veamos como funciona cada uno de los terminos mod 3
$2^1\equiv 2 mod 3$
$2^2\equiv 1 mod 3$
$2^3\equiv 2 mod 3$
$2^4\equiv 1 mod 3$
et...
$3^1\equiv 0 mod 3$
$3^2\equiv 0 mod 3$
$3^3\equiv 0 mod 3$
$3^4\equiv 0 mod 3$
etc..
$x^2\equiv 0,1 mod 3$
entonces:
si p es impar la suma de $2^p+3^p\equiv 2 mod 3$
si p es par la suma de $2^p+3^p\equiv 1 mod 3$
entonces ya eliminamos a todas las p impares y nos quedan las pares, pero como p es primo la niqua p par posible es 2, y este es un caso particular:
$2^2+3^2=4+9=13$ y 13 no es cuadrado perfecto, y con eso queda la demostracion
Bien hecho Alberto y Bryan.
ResponderBorrarAqui esta mi solución
ResponderBorrarhttp://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/Problema%20Blog%2025-09-10/?action=view¤t=ProblemaBlog250910.jpg
http://s803.photobucket.com/albums/yy320/alonso_0293/?action=view¤t=25desep.jpg
ResponderBorrarLuis Alonso
http://picasaweb.google.com/lh/photo/iktn6hAbQwzxqxFsJGpuEmzY3-qDUM5OlqEu_XVViso?feat=directlink
ResponderBorrarcorrecto!
ResponderBorrarAmm pues a mi se me olvidó que p era primo jaja... así que dividí los casos en p=par p=impar
ResponderBorrarpara p impar vemos mod 3 y nos queda que $2^p+3^p$ es congruente a 2 mod3, lo cual no es posible si queremos que sea un cuadrado.
para p par vemos mod 5, $2^4^k^+^2$ es congruente a -1 mod 5 y $3^4^k^+^2$ tambien es congruente a -1. si los sumamos nos da -2 o 3, pero los cuadrados modulo 5 son congruentes a 0,1 y -1
$2^4^k$ y $3^4^k$ son congruentes a 1 mod 5, por lo tanto su suma es congruente a 2, lo cual no se puede.