jueves, 30 de septiembre de 2010
Problema del Día 30 de septiembre
Dados dos enteros positivos $n$ y $a$ se forma una lista de 2001 números como sigue: El primer número es $a$; a partir del segundo, cada número es el residuo que se obtiene al dividir el cuadrado del anterior entre $n$. A los números de la lista se les ponen los signos + y - alternadamente empezando con +. Los números con signo así obtenidos se suman y a esa suma se le llama suma final de $n$ y $a$. ¿Para qué enteros $n\geq 5$ existe alguna $a$ tal que $2 \leq a < \frac{n}{2}$ y la suma final para $n$ y $a$ es positiva?
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empieza en $+a- \dots$ o $a+ \dots$ ?
ResponderBorrarLeiste el enunciado?
ResponderBorrar" A los números de la lista se les ponen los signos + y - alternadamente empezando con +."
Oye Quique intente tu problema pero me quede con una desigualdad muy fea que va algo así:
ResponderBorrar(a/n)-(a^2/n^2)+(a^4/n^4)-(a^8/n^8)+...< (1/2)- (1/4)+(1/16)...
Y luego usando la desigualdad a<n/2, obtuve a/n<2→ 2a/n<1, para sacar los demas los elevaba al cuadrado del numero anterior, y me salio otra desigualdad:
(2a/n)-(4a^2/n^2)+(16a^4/n^4)-...<1+1+1...+1+1=2001
La verdad es que no se como usar esto, o si voy en otro lado del problema, pero agradeceria cualquier sugerencia u otra forma de intentar resolver el problema que me ayudara a resolver el problema. :)
gravixer:
ResponderBorrarTe sugiero tratar casos chicos. Por ejemplo, sea $n =5$. Entonces hay sólo un posible $a$, que es $a = 2$ (ya que $3 > \frac{5}{2} = \frac{n}{2}$).
Calcula el valor de la suma en este caso.