El problema del día de ayer está un poco difícil. En los comentarios vi que no tenían mucha experiencia con problemas de ese tipo.
Como notación: Para $a$ y $b$ enteros, denota $(a,b)$ al máximo común divisor de $a$ y $b$.
Aquí les van unos problemas para que practiquen:
1) Demuestra que $(a,b) = (a, b-a)$.
2) Calcula el máximo común divisor de $2^m - 1$ y $2^m + 1$.
3) Calcula $(6,10^{2010})$.
4) Demuestra que si $2^m - 1$ es primo, entonces $m$ es primo.
1) Tanto a como b son multiplos del mcd, entonces al restarle a a b nos va seguir dando un multiplo del mcd, o el mismo.
ResponderBorrar2) El mcd de 2^m-1 y 2m+1 es 1, porque dichos numeros son impares consecutivos, y los impares consecutivos son primos entre si.
3)(6, 10^2010)=2
No puede ser 6 porque el criterio de divisibilidad de 6 dice que para que un numero sea multiplo de 6,este debe ser multiplo tanto de 2 como de 3, y cualquier potencia de 10 es multiplo de 2, pero no de 3. Tampoco puede ser el mcd 3, por lo antes citado, asi que es 2.
4) Para este problema hasta el momento no se me ocurre nada, pero mi idea es tomar cualquier numero primo, sumarle 1 y sacarle todas las raices que den numero entero, despues hacer eso hasta que el resultado sea 2, entonces se ve el exponente y se verifica que sea primo.
La computadora con la que trabajo tiene el teclado en ingles, entonces no puedo poner acentos y otros caracteres, asi que si hay alguna palabra que pueda tener dos sognificados, pot favor tomen el que suene mas logico.
Tu solución del 1 es incompleta. Es cierta que a y b son múltiplos del mcd. Es cierto que a y b-a son múltiplos del mcd. Pero como sabes que el mcd de a y b-a no es un múltiplo del mcd de a y b?
ResponderBorrar1) Digamos (a,b)=d, entonces tenemos que demostrar que (a,b-a)=d
ResponderBorrarTenemos d|a y d|b, entonces dx=a y dy=b
b-a=dx-dy=d(x-y)
Por lo tanto d|b-a
Ahora x-y no es igual que x (a menos que y fuera 0 pero entonces b seria 0, pero se puede aplicar de la misma manera porque d|b-a=-a y d|±a y x|±a por lo que dependería de ver cual es mayor entre d y x para ver cual es el mcd(a,-a))por lo que el mcd (a,b-a)=d
Mas al rato subo los demas incisos
Para el inciso 3
ResponderBorrarlos divisores de 6 son 1,2,3,6. las potencias de
10 no dividen a seis por que su criterio de divisibilidad dice que debe ser multiplo de 2 y 3. Como no es multiplo de 6 ni de 3 por lo tanto su mcd es 2
1) (a,b) quiere decir q a=k'(a') y b=k'(b') entonces (b-a)=(k'b')-(k'a') y si factorizamos k' seria (b-a)= k'(b'a'). y como todos tiene k' multiplicado por algo, quiere decir q (a,b)=(a,b-a)
ResponderBorrar2) 2^m es un numero par, quiere decir q (2^m)+1 y (2^m)-1 son impares, y la diferencia entre ellos es 2, porque solo tienen al 2^m como numero entero entre ellos.
(2,(2^m)+1)=1 porque son numeros consecutivos
(2,(2^m)-1)=1 porque tambn son numeros consecutivos
y de acuerdo al pasado problema q a-b tambn cumple.donde:
a=2
b=(2^m)+1
a-b=(2^m)-1
entonces ((2^m)+1,(2^m)-1)=1
3) Es 2, porque para dividir a 6 tenemos como posibles al 1,2,3 y 6. para q un numero se pueda dividir entre 6, tiene q poder ser dividido entre 2 y 3. el 10^2010 va a tener dosmildiez 0's y un 1. por lo tanto no cumple con el 3, y por eso tampoco con el 6. pero el 10 a cualquier potencia va a seguir siendo un numero par, entonces sera multiplo de 2, y de las cuatro opciones q teniamos ya no podemos con el 6 ni con el 3, pero el 2 si.
4) esto es lo q llevo :
si 2^m-1 es primo entonces 2^m es un par mayor por 1 a un numero primo, cuando m es entero.
porque si podria 2^m ser 3, q seria la unica exepcion para ser impar. pero m no es entero.
algunos de los posibles 2^m cumpliendo con lo anterior serian: 4,8,32,128, y todos ellos menos 1 son primos, donde m para ellos es 2,3,5,7 respectivamente, y estos m son primos. pero me falta sacar algo para generalizar, q siempre seran primos. :S
Para el inciso 2
ResponderBorrar2^m+1-(2^m-1)=2
ademas estos 2 numeros son impares. y todos los impares que estan seguidos son primos relativos.
me falto un menos en el 1
ResponderBorrar1) .... (b-a)= k'(b'-a').....
1) el maximo comun divisor de "a" y "b" es el mismo que el de "a" y "b-a" ya que al momento de sacar el mcd lo que importa es la diferentcia que hay entre ambos numeros, entonces le puedes quitar cuentas veces quepa "a" en "b" y te va aseguir dando el mismo mcd
ResponderBorrar2)el mcd de 2^m-1 y 2^m+1 es 1 ya que el dos elevado a cualquier potencia te da un numero par y al sumerle o restarle uno te da un numero impar, entonces no es multiplo de 2 y como la diferencia entre ambos numeros es dos no pueden tener multiplos en comun asi que su mcd es 1
3)el mcd de 6 y 10^2010 es 2 porque cualquier potencia de 10 te da un uno y el numero de ceros a la que esta elevada a la potencia, entonces sacando el mcd del 6 y 10^2010 primero pones el dos y te queda 3 un 5 con muchos ceros pero el cinco con muchos ceros no se puede dividir entre 3 ya que para ser divisible entre tres la suma de sus digitos debe ser multiplo de 3 y la suma de ese numero es 5 por lo tanto su mcd de ambos numeros es 2
ResponderBorrar4) aun no he hecho este pero se relaciona con el problema de ayer
si tenemos qe (a,b)=(a,b-a)
ResponderBorrarel mcm tiene qe ser multiplo de a,b y de b-a entonces b es multiplo de a porqe si le restas b-a nos qeda un multiplo de a i el mcm no cambia,,,
tenemos $2^m-1$ y $2^m+1$ tenemos qe estos dos son numeros impares consecutivos por lo tanto su maximo comun multiplo es 1 por ser primos consecutivos.
el mcm de estos dos numeros es 2 porqe 6 solo es divisible entre 1,2,3,6
entonces tenemos que $(10^{2010}) no es multiplo de 6 para qe fuera divisible entre 6 tendra qe ser multiplo de 2 i de 3 i es multiplo de 2 pero no de 3 pormlos criterios de divisibilidad por lo tanto no el mcm es 2
Irwing: Lo que quieres no es que x-y y x sean diferentes. Lo que quieres es que x y x-y sean primos relativos. Si x y x-y tienen algún factor en común entonces $(a,b-a)$ sería mayor a $d$.
ResponderBorrarNeil: Tienes el mismo error que el primer comentario. Demostraste que (a,b) divide a (a, b-a) pero no demostraste que son iguales. ¿Por qué no se puede tener un número múltiplo de (a,b) tal que el número divide a (a,b-a)?
ResponderBorrarMiguel:
ResponderBorrar¿Por qué lo que importa es la diferencia?
Es cierto, pero eso es exactamente lo que pido que demuestres. El problema es demostrar que lo que importa es la diferencia.
Hugo, estás atacando el inciso 1 al revés. Quieres demostrar que $(a,b) = (a, b-a)$. No debes empezar suponiendo que son iguales. De todos modos, necesitas más argumentos, parece que caes en la misma trampa que los demás.
ResponderBorrarComo comentario para todos, se supone que el inciso 2 debe ser obvio si hicieron el inciso 1.
ResponderBorrarSi $a = 2^m - 1$ y $b = 2^m + 1$, entonces $(a,b) = (a,b-a) = (a, 2) = 1$ ya que $a$ es impar.
Sé que muchos lo tienen bien, pero si cambio el problema a $2^m-1 y 2^m + 15$, el máximo común divisor también es $1$ (usando el inciso 1) y los argumentos que dieron para $2^m - 1$ y $2^m +1$ no servirían para ese caso.
Nomás lo menciono para que vean lo útil que puede ser el inciso 1.
Listo aquí estan mis soluciones, nomas que en el último inciso no creo que lo haya podido probar pero igual intente de hacerlo, ahí si me pudieran dar una buena sugerencia para el último inciso.
ResponderBorrarhttp://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/ProblemaBlog130910/?action=view¤t=ProblemaBlog150910Parte1.jpg
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Irving, sigue sin estar completamente correcto. Para que el máximo común divisor de $(x, y-x)$ no sea uno, no necesariamente se necesita que $x$ divida a $y-x$ o que $y-x$ divida a $x$.
ResponderBorrarPor ejemplo:
$x = 6$ $y =21$. Entonces $(x,y-x) = (6,21-6) = (6, 15) = 3$.