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sábado, 11 de septiembre de 2010
Problema del día. (11 sept)
Sea ABCD un cuadrado con lado 1 cm. Si M y N son los puntos medios de los lados AB y BC, respectivamente. Calcular el área de la zona sombreada.
llamamos al punto de interseccion entre los triangulos CMB Y CND punto E podemos ver que el tringulo CNE es proporcional con los triangulos CMB Y CND ya que comparte el angulo MCB y el angulo DNC por lo tanto el angulo CEN mide 90 grados
sacamos la medida de MC
BC= 1 MB= .5
y con pitagoras MC nos mide$\sqrt{1.25}$
y como los triangulos son proporcionales podemos utilizar una regla de 3
Es facil ver que los triangulos DNC y CMB son congruentes y son rectangulos, entonces si los angulos MCB=NCO, DNC=CNO por lo tanto los triangulos CMB y CNO son congruentes. por pitagoras:
CM=√1.25
Por razones: NO=(.5*.5)/√1.25=.25/√1.25 CO=(.5*1)/√1.25=.5/√1.25
entonces ya tenemos base y altura de CNO por lo tanto el area es igual a: =[(.25*.5)/√(1.25*1.25^2)]/2 =(.125)/(2*1.25) =1.25/2.5 =.5
Aqui esta mi solucion: http://s743.photobucket.com/albums/xx73/luiscgarcia/problema%2011%20sep/?action=view¤t=100_5111.jpg Está un poco confusa pero resulta: 0.5 cm²
Primero podemos deducir que el triangulo DCN = CMB ya q comparten mismas medidas. al punto de interseccion de DN y CM le llamamos F.
Ahora a demostrar q el traingulo CFN es semejante a cualquiera de estos dos, notamos q triangulo CBM comparte el mismo angulo MCB con el triangulo CFN, entonces angulo MCB = FCN. Y el traingulo DCN por la misma observacion deducimos q el angulo DNC = FNC y asi demostramos la semejanza por AA.
Luego sacamos la escala, por pitagoras sacamos el segmento CM, entonces tenemos q CB^2 + MB^2 = CM^2 que es 1^2 + 0.5^2 = raiz de 1.25 = MC. ahora sacamos la escala con dividir CM/FC y la escala es de (raiz d 1.25/0.5) q de hecho es la medida de CF.
Ahora sacamos FN por la escala entonces nos da 0.5/(raiz d 1.25/0.5) entonses por pitagoras tenemos que (raiz d 1.25/0.5)X 0.5/(raiz d 1.25/0.5) nos da 0.5 y entre 2 me da 0.25
bueno eso es lo q me dio pero veo q estoy mal por mayoria de votos... si alguien me pudiera decir donde me equivoque segun mi procedimiento les agradeceria mucho
primero me fije que el triangulo BCM es congruente al triangulo CDN y saque angulitos :D y llame L al punto donde se corta DN con CM y me di cunta de que el triangulo LCN es semejante a CDN y BCM
y luego vi que CL=2LN
y por pitaguras saque 1/2=raiz((2x)^2+x^2) x=1/raiz (20)
a luis y a todos.. solo para futuras referencias...
Las distintas soluciones a los problemas se les pide por favor que las dejen en sus respectivas areas de comentarios.. es decir.. no pongan links de soluciones de problemas pasados en un problema que nada tiene que ver... esto para facilitar a quien haga los analisis de los problemas.. y aparte para mantener cierto orden.
Llamemos el punto dende cruzan MC y ND punto P. Tenemos primero que sacar la longitud de MC o ND, es igual: Por pitagoras MC=√1.25 Y por su manera de estar acomodado, el triangulo del area sombreada es congruente al triangulo MBC, y por relacion: si √1.25 es a 1, NP es a MB, .5 es a .5/√1.25 NP es aproximado a .447 NC es, por pitagoras o por congruencia, es .25√1.25 Entonces el area es [(.5/√1.25)(.25/√1.25)]/2 =(.125/1.25)/2 =.1/2 area = .05 cm cuadrados
PN y PC son la base y la altura de CPN, asi que si las multiplicamos y dividimos entre dos obtenemos el area esta muy largo el latex asi que lo dejo en que el resultado es
Si alguno de los entrenadores ve esto, me gustaría que hicieran una retroalimentación de mi solución, es que no quedé muy seguro de que el procedimiento fuera correcto.
Anonimo... AA se refiere al criterio de semejanza Angulo-Angulo, el cual señala que si dos triangulos tienen dos ángulos iguales, entonces (como el nombre lo dice) son semejantes y por lo tanto las razones entre sus respectivos lados son iguales.
Fabian ok... aqui ya pude encontrar una solucion, espero este claro lo q hise http://www.facebook.com/album.php?aid=90425&id=1266533730&saved#!/photo.php?pid=1654217&id=1266533730&ref=fbx_album
Es fácil demostrar que el triángulo sombreado es semejante al triángulo BCM (se deja al lector como ejercicio). La hipotenusa de triángulo sombreado mide CN=0.5 cm y la hipotenusa del triángulo BCM, por Pitágoras mide CM=la mitad de raíz cuadrada de 5; entonces la razón de semejanza es: CM/CN=raíz cuadrada de cinco, y como las áreas de 2 triángulos semejantes son entre sí como el cuadrado de la razón de semejanza, entonces el triángulo BCM es cinco veces el sombreado; por lo tanto el área sombreada es un quinto de un cuarto; es decir un veinteavo=0.05 cm cuadrados.
llamamos al punto de interseccion entre los triangulos CMB Y CND punto E
ResponderBorrarpodemos ver que el tringulo CNE es proporcional con los triangulos CMB Y CND ya que comparte el angulo MCB y el angulo DNC por lo tanto el angulo CEN mide 90 grados
sacamos la medida de MC
BC= 1
MB= .5
y con pitagoras MC nos mide$\sqrt{1.25}$
y como los triangulos son proporcionales podemos utilizar una regla de 3
MC= $\sqrt{1.25}$ CN= .5
BC= 1 CE= .5/$\sqrt{1.25}$
MB= .5 NE= .25/$\sqrt{1.25}$
entonces ya tenemos la base y la altura entonces las multiplicamos y las dividimos entre dos para obtener el area de
.05
Es facil ver que los triangulos DNC y CMB son congruentes y son rectangulos, entonces si los angulos MCB=NCO, DNC=CNO por lo tanto los triangulos CMB y CNO son congruentes.
ResponderBorrarpor pitagoras:
CM=√1.25
Por razones:
NO=(.5*.5)/√1.25=.25/√1.25
CO=(.5*1)/√1.25=.5/√1.25
entonces ya tenemos base y altura de CNO
por lo tanto el area es igual a:
=[(.25*.5)/√(1.25*1.25^2)]/2
=(.125)/(2*1.25)
=1.25/2.5
=.5
me saltie el paso de la multiplcacion pero es que lo queria poner con latex y aqui esta
ResponderBorrar$\frac{.25}{\sqrt1.125}$ $\frac{.5}{\sqrt1.125}$ = $\frac{.125}{1.125}$ = $$.1$$
$\frac{.1}{2}$ = $$.05$$
Sea $P$ la intersección de $CM$ con $DN$
ResponderBorrar$\angle MCN=\gamma$ y $\angle DCM=\alpha$
$\gamma+\alpha=90$
Triangulo $BCM$ es semejante a triangulo $CDN$ por LLL
$\angle BCM=\gamma=\angle CDN$ y $\angle CMB=\alpha=\angle DNC$
Por suma de ángulos en el triangulo $CPN$, $\angle CPN=90$
Triangulo $CNP$ es semejante a $CMB$ por AA
$\frac{CN}{CM}=\frac{CP}{CB}=\frac{NP}{MB}$
$CN=\frac{1}{2}$ *
$MC=\frac{\sqrt{5}}{2}=\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2}$
$BC=1$ *
$BM=\frac{1}{2}$ *
sustituyendo tenemos
$\frac{1}{\sqrt{5}}=PC=2NP$
$sen\gamma =\frac{MB}{MC}=\frac{1}{\sqrt{5}}$
$(PCN)=(PC)(CN)(sen\gamma )(\frac{1}{2})=\frac{1}{(\sqrt{5})(2)(\sqrt{5})(2)}$
$(PCN)=\frac{1}{20}$
PS: * = por dato del problema
Aqui esta mi solucion:
ResponderBorrarhttp://s743.photobucket.com/albums/xx73/luiscgarcia/problema%2011%20sep/?action=view¤t=100_5111.jpg
Está un poco confusa pero resulta:
0.5 cm²
llamemos al punto de interceccion P
ResponderBorrardespues no damos cuenta por igualdad
triangulo DCN = CBM
y por semejanzas CPN = CBM
(CBM) = (.5)(1)/2 = (.5)(.5) = .25
con pitagoras sacamos que CM = ala raiz de uno al cuadrado mas .5 al cuadrado y esto es igual a la raiz de 1.25
por las semejansas de los trinagulos tenemos qe CP = .5/ raiz de 1.25,,,
CN = .25/ raiz de 1.25
sacamos el area del traingulo i tenemos que (CPN) = .05
intentare escribirlo en latex para qe se entienda!
tuve un error alultimo en CN =,,,, me referia ah PN
ResponderBorrarFabian
ResponderBorrarPrimero podemos deducir que el triangulo DCN = CMB ya q comparten mismas medidas. al punto de interseccion de DN y CM le llamamos F.
Ahora a demostrar q el traingulo CFN es semejante a cualquiera de estos dos, notamos q triangulo CBM comparte el mismo angulo MCB con el triangulo CFN, entonces angulo MCB = FCN. Y el traingulo DCN por la misma observacion deducimos q el angulo DNC = FNC y asi demostramos la semejanza por AA.
Luego sacamos la escala, por pitagoras sacamos el segmento CM, entonces tenemos q CB^2 + MB^2 = CM^2 que es 1^2 + 0.5^2 = raiz de 1.25 = MC.
ahora sacamos la escala con dividir CM/FC y la escala es de (raiz d 1.25/0.5) q de hecho es la medida de CF.
Ahora sacamos FN por la escala entonces nos da 0.5/(raiz d 1.25/0.5) entonses por pitagoras tenemos que (raiz d 1.25/0.5)X 0.5/(raiz d 1.25/0.5) nos da 0.5 y entre 2 me da 0.25
bueno eso es lo q me dio pero veo q estoy mal por mayoria de votos... si alguien me pudiera decir donde me equivoque segun mi procedimiento les agradeceria mucho
Luis Alonso P.
ResponderBorraraqui estan algunas soluciones
6 de septiembre
http://s803.photobucket.com/albums/yy320/alonso_0293/?action=view¤t=6sep.jpg
7 de septiembre
http://s803.photobucket.com/albums/yy320/alonso_0293/?action=view¤t=7sep.jpg
9 de septiembre
http://s803.photobucket.com/albums/yy320/alonso_0293/?action=view¤t=9sep.jpg
11 de septiembre
http://s803.photobucket.com/albums/yy320/alonso_0293/?action=view¤t=11sep.jpg
si hay algo que no explique muy bien me avisan
saludos
primero me fije que el triangulo BCM es congruente al triangulo CDN y saque angulitos :D
ResponderBorrary llame L al punto donde se corta DN con CM
y me di cunta de que el triangulo LCN es semejante a CDN y BCM
y luego vi que CL=2LN
y por pitaguras saque
1/2=raiz((2x)^2+x^2)
x=1/raiz (20)
(LNC)=(1/2)(2/raiz20)(1/raiz20)= (2/20)(1/2)=1/20
(LNC)=0.05cm2
:)
http://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=NewPicture1.jpg
ResponderBorrarhttp://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=NewPicture.png
a luis y a todos.. solo para futuras referencias...
ResponderBorrarLas distintas soluciones a los problemas se les pide por favor que las dejen en sus respectivas areas de comentarios.. es decir.. no pongan links de soluciones de problemas pasados en un problema que nada tiene que ver... esto para facilitar a quien haga los analisis de los problemas.. y aparte para mantener cierto orden.
un saludo.
aqui subi mi solucion.
ResponderBorrarun comentario por si no esta claro. pero se puede saber que son cuadrados porque las lineas son paralelas y perpendiculares.
http://neilalex93.blogspot.com/2010/09/blog-post.html
Llamemos el punto dende cruzan MC y ND punto P. Tenemos primero que sacar la longitud de MC o ND, es igual:
ResponderBorrarPor pitagoras MC=√1.25
Y por su manera de estar acomodado, el triangulo del area sombreada es congruente al triangulo MBC, y por relacion:
si √1.25 es a 1,
NP es a MB, .5 es a .5/√1.25
NP es aproximado a .447
NC es, por pitagoras o por congruencia, es .25√1.25
Entonces el area es [(.5/√1.25)(.25/√1.25)]/2
=(.125/1.25)/2
=.1/2
area = .05 cm cuadrados
DCN ~ CBM
ResponderBorrar$\angle NDC = \angle MCD = \alpha$
$\angle CND = \angle BMC = \beta$
asi que por AA
CBM ~ CPN
las razones son:
$\frac{CB}{CP} = \frac{BM}{PN} = \frac{CM}{CN}$
vemos los datos que ya tenemos:
CB = 1
BM = 1/2
CN = 1/2
CM = $\frac{\sqrt{5}}{2}$
y por las razones 2PN = PC
$\frac{1/2}{PN} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\frac{1}{2}}$
Despejamos PN y tenemos:
$PN = \frac{\sqrt{5}}{10}$
como PC es el doble de PN
$PC = \frac{\sqrt{5}}{5}$
PN y PC son la base y la altura de CPN, asi que si las multiplicamos y dividimos entre dos obtenemos el area
esta muy largo el latex asi que lo dejo en que el resultado es
$(CNP) = \frac{1}{20}$
k significa eso de AA?
ResponderBorrarSi alguno de los entrenadores ve esto, me gustaría que hicieran una retroalimentación de mi solución, es que no quedé muy seguro de que el procedimiento fuera correcto.
ResponderBorrarAnonimo... AA se refiere al criterio de semejanza Angulo-Angulo, el cual señala que si dos triangulos tienen dos ángulos iguales, entonces (como el nombre lo dice) son semejantes y por lo tanto las razones entre sus respectivos lados son iguales.
ResponderBorrarFabian
ResponderBorrarok... aqui ya pude encontrar una solucion, espero este claro lo q hise http://www.facebook.com/album.php?aid=90425&id=1266533730&saved#!/photo.php?pid=1654217&id=1266533730&ref=fbx_album
Aquí esta mi solucion
ResponderBorrarhttp://s818.photobucket.com/albums/zz106/Grinver/ProblemaBlog110910/?action=view¤t=ProblemaBlog110910.jpg
Esta es mi solución:
ResponderBorrarhttp://i1012.photobucket.com/albums/af241/alfa-3/Alex001.jpg
Es fácil demostrar que el triángulo sombreado es semejante al triángulo BCM (se deja al lector como ejercicio). La hipotenusa de triángulo sombreado mide CN=0.5 cm y la hipotenusa del triángulo BCM, por Pitágoras mide CM=la mitad de raíz cuadrada de 5; entonces la razón de semejanza es: CM/CN=raíz cuadrada de cinco, y como las áreas de 2 triángulos semejantes son entre sí como el cuadrado de la razón de semejanza, entonces el triángulo BCM es cinco veces el sombreado; por lo tanto el área sombreada es un quinto de un cuarto; es decir un veinteavo=0.05 cm cuadrados.
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