jueves, 13 de septiembre de 2012
Problema del Día. Geometría (13 de septiembre)
En el triángulo isósceles ABC, con AB=AC, D es un punto sobre la prolongación de CA tal que DB es perpendicular a BC, E es un punto sobre la prolongación de BC tal que CE=2BC, y F es un punto sobre ED tal que FC es paralela a AB. Probar que FA es paralela a BC.
¡NOTA! E esta en el rayo BC, es decir que C queda entre E y B.
Suscribirse a:
Comentarios de la entrada (Atom)
Bueno nos dice que BA es paralela a CF bueno estos segmentos van aser iguales por por que si F se mueve no será paralela bueno tenemos que son iguales entonces quiero llamar al punto medio de CF como M y obtengo el triángulo CFM bueno sabemos que CM=BC por que CE=2BC bueno también sabemos que la altura del ángulo CFM caerá en punto medio luego nos figamos en pitagoras que A2+B2=C2 y como el lado BA=CF y la mitad de sus bases son iguales pitagoras nos dice que los dos triángulos tienen mimas alturas por tanto son paralelas las rectas BC y AF son paralelas Q.E.D
ResponderBorrarPorque dices que BA=CF? Esto lo tienes que demostrar para poder usarlo.
BorrarSon iguales porque si tenemos la recta DE y se marca el punto F tal que sea CF paralela a AB bueno para que estas rectas sean paralela F tiene que estar a la misma altura si no esta a la misma altura no seria paralela bueno ya que se tiene se puede demostrar con que CM = BC y como el triángulo ABC y FMC tienen mismas alturas y su punto medio son iguales por pitagoras son iguales entonces BA = CF
BorrarPero solo estas diciendo que tienen que serlo para que sea paralela, pero no me dices por qué tienen que. Obviamente lo son pero eso es lo que necesitas demostrar para terminar el problema.
BorrarPara demostrarlo me fijo en la recta BM se sabe que C es punto medio, triángulo ABC isósceles, AB paralela a CF, ángulos ABC igual a ACB=alfa,ánguloBAC=beta,porSerparalelastenemosporánguloscorrespondientes,ABC=FCM=alfa,tenemos2alfa+beta=180poreltriánguloABC,enlarectaBMenC180°−(ACM+FCM)=beta,nosfigamosenánguloBACyACFsoniguales,entoncesánguloBACyACFsonángulosinternosyconlíneaABparalelaaFCentoncesAFCBesunparalelogramo,FAparalelaaBCeigualescomoenelcasoABparalelaeigualaFC$
BorrarBueno nos dice que BA es paralela a CF bueno estos segmentos van aser iguales por por que si F se mueve no será paralela bueno tenemos que son iguales entonces quiero llamar al punto medio de CF como M y obtengo el triángulo CFM bueno sabemos que CM=BC por que CE=2BC bueno también sabemos que la altura del ángulo CFM caerá en punto medio luego nos figamos en pitagoras que A2+B2=C2 y como el lado BA=CF y la mitad de sus bases son iguales pitagoras nos dice que los dos triángulos tienen mimas alturas por tanto son paralelas las rectas BC y AF son paralelas Q.E.D
ResponderBorrarprimero extendi la linea ab hasta que cortara a ed en k. llame a los angulos \angleacb=\angleabc=α y como db es perpendicular a eb entonces ∠dba=90−α y para completar los 180° entonces ∠cdb=90−α entonces ca=ad=ab
ResponderBorrary sabemos que como kb‖fc entonces triangulos kda\simeqfdc y como savemos que \frac{ad}{cd}=\frac{1}{2}=\frac{ka}{fc}. por thales \frac{eb}{ec}=\frac{ek}{ef} entonces ef=2fk luego por paralelas \angle efc=\angle ekb\rightarrow por RAR \triangle efc\simeq\triangle fka\rightarrow\angle cfa=\alpha y savemos que por \| \angle fca=\angle cab=180-2(\alpha)\rightarrow \angle fcb+\angle cfa=180 entonces acavamos
donde me aparece ==\alpha en realidad es angulos ACB=ABC=\alpha
BorrarTe pedi que corrigieras el \LaTeX, es muy dificil de entender como esta, pero
Borrar:)
Cuando hacemos la figura, vemos que para que se cumpla que: FC\parallel AB, el punto C debe quedar entre los puntos B y E luego de prolongar BC.
ResponderBorrarPara que se cumpla que: DB\perp BC, el punto A debe quedar entre D y el punto C al prolongar AC.
Sea \angle{ABC}=\angle{ACB}=\alpha, si DB\perp BE\Rightarrow\angle{DBE}=90^{o}=\angle{DBA}+\angle{ABC}=\angle{DBA}+\alpha\Rightarrow\angle{DBA}=90-\alpha.
\angle{BAD}=\angle{ABC}+\angle{BCA}=2\alpha.
En \triangle{DBA}: \angle{DBA}+\angle{BAD}+\angle{ADB}=180^{o}=90-\alpha+2\alpha+\angle{ADB}=90+\alpha+\angle{ADB}\Rightarrow\angle{ADB}=90-\alpha=\angle{DBA}\Rightarrow\triangle{DAB} es isósceles \Rightarrow AD=AB=AC\Rightarrow A es punto medio de DC.
Prolongamos AB hasta P tal que P esta sobre ED.
Si AB\parallel FC\Rightarrow BP\parallel FC\Rightarrow \triangle{PBE}\simeq\triangle{FCE}\Rightarrow
\frac{BE}{CE}=\frac{PE}{FE}, si BE=3BC, CE=2BC\Rightarrow\frac{BE}{CE}=\frac{PE}{FE}=\frac{3}{2}\Rightarrow 3FE=2PE\Rightarrow 3FE=2FE+2FP\Rightarrow FE=2FP, si PB\parallel FC\Rightarrow \angle{EFC}=\angle{EPB}\Rightarrow\triangle{EFC}\simeq\triangle{FPA}\Rightarrow\angle{PAF}=\alpha, si PB\parallel FC\Rightarrow \angle{AFC}=\alpha\Rightarrow tenemos que AFCB cumple las propiedades de un paralelogramo \Rightarrow FA\parallel BC Q.E.D.
Que usaste para decir que \triangle EFC \sim \triangle FPA? Solo tienes dos angulos iguales y una razon entre los lados, te falta otro dato. Revisa eso que te falta muy poco.
BorrarSi PA\parallel FC\Rightarrow \triangle{DCF}\simeq\triangle{DAP}\Rightarrow\frac{DA}{DC}=\frac{PA}{CF}=\frac{DP}{DF}=\frac{1}{2} (pues AC+AD=DC, AC=AD\Rightarrow 2DA=DC\Rightarrow\frac{DA}{DC}={1}{2}).
BorrarYa teníamos que FE=2FP\Rightarrow\frac{FP}{FE}=\frac{1}{2}
Finalmente tenemos que: \frac{FP}{FE}=\frac{PA}{FC}=\frac{1}{2}, \angle{EPB}=\angle{EFC}\Rightarrow por RAR: \triangle{EFC}\simeq\triangle{FPA}
donde puse \frac{DA}{DC}=12 es: \frac{DA}{DC}=\frac{1}{2}
Borrarhttp://s739.photobucket.com/albums/xx34/leo0_9506/Ommch/?action=view¤t=CAM00053[1]_zpsfea0e5c5.jpg
ResponderBorrarTienes el mismo problema que Arturo, no tienes suficientes datos como para decir que \triangle EFC \sim \triangle FPA, tienes una razon y par de angulos iguales, pero te falta otra cosa. Te falta poco ;)
Borrar(y eso no cuenta como carita feliz...)
Borrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=4630862613814&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=3&theater
ResponderBorrarTienes un pequeño error en tus cuentas con los angulos, donde tienes
Borrar\angle ADH \rightarrow \alpha - \delta = 180 - \beta - \delta - \phi \leftarrow \angle CDE
Despues de eso deberia ser
\alpha = 180 - \beta - \phi
Pero en vez de poner \beta pusiste \delta, y todo lo que concluiste apartir de eso no es cierto. Intentalo viendo eso.
Sabia que habia algo raro, y esque lo hice todo con un reborujadero!, y al pasarlo en limpio no le ayaba orden:l, y me confundi bien sarro, y me estrese porque nada mas pasandolo en limpio me tomo como 40 min :l, pero hay lo checo, gracias Alberto:)
Borrarhttp://www.facebook.com/photo.php?fbid=4687159941212&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=1&theater
BorrarHacemos G la intersección de BA con DE y \angle ACB=\angle ABC=\alpha, entonces \angle CAB=180-2\alpha.
ResponderBorrar\angle ABD=90-\alpha porque BD \perp CB, y \angle DAB=180-\angle CAB=180-(180-2\alpha)=2\alpha. Como los ángulos internos de un triángulo suman 180°, en \triangle ADB, 180=\angle ADB+\angle DBA+\angle BAD=\angle ADB+90-\alpha +2\alpha =90+\alpha \Rightarrow \angle ADB=90-\alpha \Rightarrow \triangle DAB es isósceles y DA=AB=AC.
Como AG\parallel FC, por el teorema de Tales \frac{DG}{GF} =\frac{DA}{AC} =1 \Rightarrow DG=GF.
Como BG\parallel FC, por el teorema de Tales \frac{EF}{FG} =\frac{EC}{CB} =2 \Rightarrow EF=2GF.
ED=EF+FG+GD=2GF+GF+GF=4GF entonces F es punto medio de ED (porque lo divide en dos segmentos iguales de 2GF).
\frac{DF}{FE}=1=\frac{DA}{AC}, entonces por el teorema de Tales FA\parallel EC.
Por lo tanto FA\parallel BC.
veo que como FC\parallel BA entonces \frac{EC}{CB}=\frac{EF}{FP}=2 entonces 2FP=FE. Luego como \triangle DBC es rectangulo entonces DC es el diametro de el circuncirculo, entonces el circuncentro esta sobre DC, y como BA=AC enotnces A es el circuncentro y por lo tanto DA=DC.
ResponderBorrarLuego si extiendo AB hasta cortar a DE en P me fijo que AP\parallel FC entonces \frac{DA}{AC}=\frac{DP}{PF}=1 entonces DP=PF entonces DF=2FP=FE. entonces \frac{DA}{AC}=\frac{DF}{FC}=1 entonces por el teorema de thales FA\parallel EC entonces FA\parallel BC como queriamos demostrar.
:)
Borraraunque usas el punto P antes de definirlo pero tu solucion esta correcta
Vemos que AB=AC :
ResponderBorrar\Righarrrow \angle ABC = \angle ACB = \alpha , \angle BAC = 180^o-2\alpha y suplemento es el \angle BAD = 2\alpha .
Sabemos que \angle DBE = 90^o :
\Rightarrow \angle DBA = 90^o-\alpha . Y para completar los 180^o de \triangle DAB ; \angle BDA = 90-\alpha , entonces \triangle DAB es isosceles: DA=AB=AC .
Extendemos BA hasta DE en un punto G
Sabemos que CF\|BG y podemos ver dos pares de triangulos semejantes:
* \triangle GBE \sim \triangle FCE - Por AAA; \angle GBE = \angle FCE = \alpha (correspondientes entre paralelas), \angle BGE = \angle CFE = \beta (correspondientes entre paralelas) y \angle BEG = \angle CEF:
\frac{GB}{FC} =\frac{BE}{CE} = \frac{EG}{EF}
Sabemos que 2BC=CE \Rightarrow BE=3BC
\frac{BE}{CE} = \frac{3BC}{2BC} = \frac{3}{2} :
FE=2GF
* \triangle CFD \sim \triangle AGD - Por AA; \angle CFD = \angle AGD (correspondientes entre paralelas) y \angle CDF = \angle ADG:
\frac{CF}{AG} =\frac{FD}{GD} = \frac{DC}{DA}
Hacemos un poco de algebra con la tercer fracción:
\frac{DC}{DA} =\frac{DA+AC}{DA} =\frac{DA+DA}{DA} =\frac{2DA}{DA} =2
Con esto podemos ver que los lados de ambos triangulos estan en relacion 2:1 :
Podemos ver que:
CF=2AG
Ahora tenemos que \triangle FCE \sim \triangle GAF por RAR - CF=2AG , \angle CFE = \angle AGF = \beta y CF=2AG .
\Rightarrow \angle GAF = \alpha Y para que \angle BAG = 180^o , \angle CAF = \alpha .
Tenemos que \angle ACF = 180^o-2\alpha . \Rightarrow Para completar los 180^o , \angle AFC = \alpha .
\therefore El cuadrilatero ABCF cumple con las caracteristicas de un paralelogramo (angulos opuestos iguales), entonces FA\|BC .
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=391327257604741&set=a.384382948299172.87730.100001824112299&type=3&theater
ResponderBorrar¿Quieres una sugerencia o lo vas a seguir intentando?
BorrarPrimero hice la figura y extendi AB hasta que cortara DE. Al punto donde se intersectaban lo llame K. A los angulos ACB y ABC los llame \alpha
ResponderBorrarLuego, me di cuenta de que \frac{EC}{BC}=\frac{EF}{KF}=2. Entonces los triangulos EBK Y EFC son similares por Thales ya que AB y CF son paralelas. Como DB es perpendicular a BC forma un angulo de 90 grados asi que DBA=90-\alpha. DAB=2\alpha porque DC es una linea y ABC=180-2\alpha
Como ya tenemos esos 2 angulos del triangulo DAB, sabemos que el angulo BDA=90-\alpha. Entonces ese triangulo es isosceles. Entonces si trazamos su altura desde A y a su pie de altura lo llamamos R, el angulo RAB=\alpha
ResponderBorrarVas bien, sigue buscando razones como lo hiciste para tener que \frac{EF}{KF} =2 para que puedas concluir con tales.
BorrarABy DE los prolongamos, donde se intersectan lo llamamos M, \angle ACB y \angle ABC = \alpha
ResponderBorrarnos fijamos que \frac{EF}{MF}=\frac{EC}{BC}=2 \rightarrow los \triangle EBM \sim \triangle EFC \rightarrow AB\|CF si DB perpendicular conBC\rightarrow DBA=90-\alpha y DAB=2\alpha y ABC=180-2\alpha y \angle BDA = 90 - \alpha y nos damos cuenta que es un triangulo equilátero.
http://www.facebook.com/photo.php?fbid=4687159941212&set=a.4586100454788.189149.1360331970&type=1&theater
ResponderBorrar