Problema del Día 30 de septiembre

Dados dos enteros positivos $n$ y $a$ se forma una lista de 2001 números como sigue: El primer número es $a$; a partir del segundo, cada número es el residuo que se obtiene al dividir el cuadrado del anterior entre $n$. A los números de la lista se les ponen los signos + y - alternadamente empezando con +. Los números con signo así obtenidos se suman y a esa suma se le llama suma final de $n$ y $a$. ¿Para qué enteros $n\geq 5$ existe alguna $a$ tal que $2 \leq a < \frac{n}{2}$ y la suma final para $n$ y $a$ es positiva?

Problema del dia (29 Sep)

Sea $M$ un conjunto de 10 enteros entre 1 y 100. Probar que dentro de $M$ se pueden encontrar dos subconjuntos ajenos (es decir, sin elementos en común) de tal manera que la suma de los elementos de éstos conjuntos sea la misma.

Sobre los comentarios

Buenas noches a tod@s, solo para avisarles que a raiz de una serie de comentarios, no muy constructivos en las publicaciones de  nuestro blog, se ha decidido cerrar el acceso solo a usuarios registrados, es decir, ya no se podra publicar con Anonymous.

Gracias por su comprension.

Problema del dia (27 Sep)

Un cuadrilatero convexo se divide en cuatro triangulos por sus diagonales. Demostrar que el producto de las areas de una pareja de triangulos que tienen solo un vertice en comun es igual al producto de las areas de los otros dos triangulos.

2° Entrenamiento General

El 2° entrenamiento general y por lo tanto los selectivos 3 y 4, se llevarán a cabo en el Instituto de Ingeniería y Tecnología de la UACJ del 8 al 10 de Octubre. Les recuerdo que estos selectivos definirán la delegacion Chihuahua 2010.

Horarios:

Viernes 8 de Octubre 4-9 (Entrenamiento)

Sabado 9 de Octubre 9-2 (Examen) 4-9 (Entrenamiento)

Domingo 10 de Octubre 9-2 (Examen)

Saludos

Problemas serios con LaTeX

La página de donde estaba sacando el convertidor de codigo a formulas murió. Estoy tratando de conseguir otra forma de poner LaTeX.

Por lo pronto pongan todo con texto normal.
EDIT:
De vuelta a la normalidad!!!

Problema del dia (26 de Sep)

Se que es muy noche pero aqui va el problema del dia

¿Para cuántas parejas de enteros $(n,r)$ con $0\leq r \leq n \leq 80$ se tiene que $\binom{n}{r} \equiv 2 mod 3$? Calcular la suma módulo 3 de todas las $\binom{n}{r}$ con  $0\leq r \leq n \leq 80$.

Problema del día. (25 sept)

Dado un número primo demostrar que no puede ser un cuadrado perfecto.

Recordatorio sobre el problema del dia

Las 11 personas que quedan TIENEN que seguir haciendo el problema del día, si nos estamos fijando quien al menos intenta los problemas y quien ni siquiera comenta algo. También quienes ya los intentaron lean los comentarios que les ponemos, parece que muchos de esos comentarios pasan inadvertidos. Los problemas los tienen que seguir intentando hasta que los resuelvan.

Escribo esto porque hay personas entre los 11 preseleccionados que casi no han resuelto problemas y porque en los últimos dos problemas del día ha habido 6 y 3 comentarios, cuando debería haber al menos 11 (al menos 1 por persona).

Problema del dia (24 Sept)

Dados cualesquiera $15$ numeros enteros positivos:

$a_1$, $a_2$, . . . ,$a_{15}$, con $1$ $<$ $a_i \leq 2010$,

que cumplen que cuales quiera dos de ellos son primos relativos.

Demostrar que almenos uno de ellos es primo.

Problema del dia (22 Sep)

Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$. Sean $P$ y $Q$ las intersecciones del circuncírculo de AOB con los segmentos $BC$ y $AC$, respectivamente. Sean $N$ la intersección de $PQ$ con la recta $CO$. Muestre que $CN$ es perpendicular a $PQ$.

Entrenamientos - Preselección Chihuahua 2010

Buenas tardes, el entrenamiento del sábado 25 de septiembre se llevará a cabo en las ciudades correspondientes.

Cd. Juárez: Edificio G, segundo piso, de 9:00 - 13:00 y 15:00 - 20:00 hrs.

Chihuahua: Salon 2304, PrepaTec, de 9:00 - 13:00 y 15:00 - 20:00 hrs.

Estos entrenamientos son obligatorios para todos los miembros de la preselección, sin excepción; todos aquellos alumnos que no fueron seleccionados, pero que repitan el año entrante, podrán asistir a todos estos entrenamientos.

Dudas y comentarios: esalgado@ommch.org

Saludos

Preselección Chihuahua

Ya estan los resultados de la primer ronda de selectivos, los alumnos que continuan en el proceso rumbo al nacional son:

De La Torre Sáenz Karina Patricia

Ponce Loya Luis Alonso

Astizarán Tobin Aberto Manuel

Medina Muela Samantha

Ramírez García David

Martínez Acosta Irving

Gómez Fierro María Georgina

Félix Granados Bryan Adan

García Pardo Jesús José

Gutiérrez Sierra Leonardo Isaac

Rangel Domínguez Fabián

Felicidades a todos y recuerden que hay que seguir trabajando en los problemas del blog.

Problema del día: 20 Sep

Los divisores positivos del número $24$ son $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$. Su producto es $331776$.
¿Qué se obtiene de multiplicar todos los divisores del número $400$?

P.D. De paso este es el post 200 del blog!!! =)

Problemas con LaTeX

Por alguna razón $$\LaTeX{}$$ (Con lo que se ven bonitas las expresiones matematicas) dejó de funcionar, no desesperen, esperelo ya tener arreglado este problema en la noche.

Ya esta todo bien

Examenes Selectivos 1 y 2

Les anexo los exámenes aplicados el pasado entrenamiento.

1er Examen Selectivo


2do Examen Selectivo

Problema del 19 de Septiembre

sea $ k_1 k_2 ...k_r $ enteros postitivos tales que $ k_1+k_2+ \cdots +k_r =n $. Demuestra que
$k_1!k_2!\cdots k_r!|n! $

Suerte/Exito a todos en el 2do Examen Selectivo

Solución a los Problemas de Calentamiento

Nadie ha resuelto el inciso 1 y 4 y casi todos tienen el mismo error en el inciso 1. En el cuatro parece que casi nadie lo ha intentado. En los incisos 2 y 3 hicieron buen trabajo. Aquí pongo las soluciones:

1) Demostrar que $(a,b) = (a, b-a)$.

Denotemos $d = (a,b)$. Ahora como $d$ es el máximo común divisor entonces $d | a$ y $d | b$. Como $a$ y $b$ son múltiplos de $d$, entonces $b-a$ también es múltiplo de $d$. Lo cual implica que $d | (a,b-a)$. Aquí muchos supusieron que se acaba el problema, sin embargo, no hemos demostrado que no existe algún divisor más grande de $a$ y $b-a$. Denotemos $m = (a,b-a)$. Ahora $a$ es múltiplo de $m$ y $b-a$ es múltiplo de $m$. Por lo tanto $b = a + (b-a)$ también es múltiplo de $m$ (ya que es la suma de dos múltiplos de $m$. Así que $m | (a,b) = d.$ Entonces tenemos que $d | m$ y que $m | d$. La única manera de que $m$ sea múltiplo de $d$ y que $d$ sea múltiplo de $m$ es que $d = m$.

Nota: Algo que hicieron algunos que da otra versión de la solución es escribir $a = dx$ y $b = dy$. Entonces $b-a = d(y-x)$. Ahora como $(a,b) = d$ entonces $(x,y) = 1$. Este hecho que nadie mencionó es bastante útil en problemas de teoría de números.

2) Demuestra que $2^m - 1$ y $2^m + 1$ son primos relativos.

$(2^m - 1,2^m + 1) = (2^m -1, 2^m + 1 - (2^m - 1)) = (2^m - 1, 2) = 1$, ya que $2^m - 1$ es impar y por lo tanto no es divisible entre $2$.

3) Encuentra $(6, 10^{2010})$.

$10^{2010}$ es múltiplo de $2$ pero no de $3$, por lo tanto $(6, 10^{2010}) = 2$.

Nota: Lo que quería que notaran aquí es que sirve ver que pasa con los primos. Lo único que tenían que checar es que pasa con el $2$ y con el $3$ que son los primos que dividen a $6$. También lo pudieron haber solucionado al revés, es decir, analizando los primos que dividen a $10^{2010}$. Por ejemplo, $10^{2010} = 2^{2010} 5^{2010}$, entonces los primos que lo dividen son $2$ y $5$. $6$ es múltiplo de $2$, pero no es múltiplo de $5$, así que $(6, 10^{2010}) = 2$.
Esta idea de ver que pasa con los primos, es muy útil, en particular la pueden usar en el problema del día del 12 de septiembre.

4) Demuestra que si $2^m - 1$ es primo entonces $m$ es primo.

La idea aquí es atacar el problema por contradicción, es decir, asumamos que $2^m - 1$ es primo que $m$ no es primo.

$m$ no es primo, implica que $m = ab$ para algunos $a$ y $b$ donde $a > 1$ y $b > 1$. Entonces
\[2^m - 1 = 2^{ab} - 1 = (2^{a})^{b} - 1 = (2^a - 1)\left((2^a)^{b-1}+(2^a)^{b-2}+\ldots + (2^a)^2 + 2^a + 1\right)\]
Entonces $2^m - 1$ es múltiplo de $2^a - 1$. Como $a > 1$ entonces $2^a - 1$ > 1 y como $a < m$ entonces $2^a - 1 < 2^m - 1$. Por lo tanto $2^m - 1$ no es primo, ya que tiene un divisor que no es 1 o si mismo. Llegamos a una contradicción, empezamos suponiengo que $2^m - 1$ era primo y que $m$ no es primo, pero llegamos a que $2^m - 1$ no es primo. Por lo tanto si $2^m - 1$ es primo, entonces $m$ es primo.

Nota:
En general \[a^n - b^n =(a-b)\left(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \ldots + a^{2}b^{n-3} + a b^{n-2} + b^{n-1}\right)\]
y en particular poniendo $b = 1$ \[a^n - 1 = (a - 1)\left(a^{n-1} + a^{n-2} + \ldots + a^1 + 1\right)\]

Problemas de Calentamiento

El problema del día de ayer está un poco difícil. En los comentarios vi que no tenían mucha experiencia con problemas de ese tipo.

Como notación: Para $a$ y $b$ enteros, denota $(a,b)$ al máximo común divisor de $a$ y $b$.

Aquí les van unos problemas para que practiquen:

1) Demuestra que $(a,b) = (a, b-a)$.

2) Calcula el máximo común divisor de $2^m - 1$ y $2^m + 1$.

3) Calcula $(6,10^{2010})$.

4) Demuestra que si $2^m - 1$ es primo, entonces $m$ es primo.

Problema Del Dia 12 de Septiembre

Si m es impar y n es cualquier numero positivo entero. Encuentra el máximo común divisor de $2^m-1$ y $2^n+1$

Tarea para el entrenamiento conjunto.

Chavos, aquí les va un problema de TAREA. La veremos en el entrenamiento conjunto. (chavos de Juárez... esta es la tarea que les iba a mandar por mail).

Demuestra que entre cualesquiera 7 enteros existen tres números tales que es múltiplo de $7$.

Problema del día. (11 sept)

Sea ABCD un cuadrado con lado 1 cm. Si M y N son los puntos medios de los lados AB y BC, respectivamente. Calcular el área de la zona sombreada.

Problema del dia: 10 de Septiembre

A cada vértice de un cubo, se le asigna el numero 1  o el numero -1. Ahora a cada cara se le asigna el producto de los 4 vértices. Cuales son todos los posibles valores de la suma de estos 14 números (hay 6 caras y 8 vértices)?

Comentario Extra sobre participación en el blog

Quiero aclarar que los problemas del día los deben seguir intentando hasta que los resuelvan. No porque sea un problema de hace 3 días pueden dejar el problema. Si se rinden y leen otra solución, cerciorense que entiendan esa solución. Traten de aprender algo en cada problema.

La razón por la que escribo esto es que a pesar de haber 37 comentarios en el problema de 1/2*3/4*...*99/100 < 1/raiz(101) no ha habido nadie que lo resuelva. Y el problema no es tan difícil. En los comentarios di una pista y sólo una persona parece haber intentado la pista (aunque nunca nos platicó como le fue en su intento).

Problema del Día 9 de septiembre

Se van escribiendo en orden todos los enteros positivos hasta que entre todas las cifras de los números escritos se hayan usado un millón de unos. ¿Cuál es el último número que se va a escribir?

Por ejemplo, si la condición para terminar fuera usar 5 unos, el último número sería el 12 pues en la lista 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, se ocupan: un 1 para el 1, uno para el 10, dos para el 11 y uno para el 12. Además ésta es la única respuesta posible pues el siguiente número que se escribiría es 13, que usaría un 1 más.

Participaciones en el blog.

Muchachos, buen día. A partir de hoy, cada semana se hará un análisis de las participaciones en los problemas que se publican, esto con el fin de que identifiquemos (todos) cual es su progreso y esfuerzo.

A continuación verán al lado de sus nombres una serie de números y una igualdad enseguida de ellos. Antes de la igualdad, cada dígito representa la totalidad de participaciones en los problemas del día (desde el 30 de agosto, hasta el 6 de septiembre).

Los criterios son los siguientes:

Problema resuelto: 3pts

Aportación de ideas: 1pt

Ayuda a otra persona: 1pt

No aporta en el comentario: 0pts

Ni siquiera participó: 0pts

Ahora bien, todos los dígitos se suman para dar como resultado el último número. Notemos que hay bastantes 0's, lo que refleja que habrá que ponernos todos a trabajar para elevar la participación y la calidad de las mismas.

Astiazarán Tobin Alberto Manuel 41333321=20
Martínez Acosta Irving 33330310=16
Félix Granados Bryan Adan 31303311=15
De La Torre Sáenz Karina Patricia 33030310=13
Ponce Loya Luis Alonso 31330300=13
Ramírez García David 11303311=13
Chávez Soledad Eloy Alfredo 11331310=13
Segovia Guzmán Miguel Omar 11330301=12
Medina Muela Samantha 31310300=11
Pérez Ramírez Neil Alejandro 11301311=11
García Ramos Luis Carlos 11301301=10
Gutiérrez Sierra Leonardo Isaac 30300300=9
García Pardo Jesús José 13110300=9
Sánchez López Luis Rodrigo 10300311=9
Castro Saenz Hugo Valentín 11300300=8
Gómez Fierro María Georgina 00300301=7
Hernández Guerrero Diana Sofía 11300000=5
Escobar Cervantes Erick Eduardo 10300000=4
López Martínez María Carolina 00000301=4
Rangel Domínguez Fabián 00000110=2
Ramírez Luján Jorge Alberto 00000000=0
Flores Ávila Ever Alejandro 00000000=0

EVALUACIÓN DEL TOTAL DEL PUNTAJE:

16 o mas: Excelente

12 a 15: Bueno

8 a 11: Regular

2 a 7: Malo

0 a 1: Preocupante

Hay que trabajar, chavos!!

Un saludo.

Problema del dia (8 sep)

Demostrar que no existe ninguna pareja de primos $p,q$, con $p\textless q$, de tal manera que $p^2 + pq + 6q -1$ sea multiplo de $pq$.

Problema del Día 7 de septiembre

En un rectángulo de $2\times 3$ se pueden formar 18 rectángulos como pueden ver algunos ejemplos en las figuras. Es fácil notar que en un cuadrado de $2\times 2$ se pueden formar 9 rectángulos. ¿Cuál es el primer $n$ tal que en el cuadrado de $n \times n$ se forman más de 10 000 rectángulos?

Problema del dia (6 sep)

Se toma un punto $P$ en el interior de un rectángulo $ABCD$ de tal manera que $\angle APD + \angle BPC = 180^{\circ}$. Encuentra la suma de los ángulos $\angle DAP$ y $\angle BCP$.

Problema del dia (5 Sep)

Probar la desigualdad
\[\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times \frac{5}{6}\times \frac{7}{8}\times \dots \times \frac{99}{100}\textless \frac{1}{\sqrt{101}}\]

Problema del dia (4 Sep)

Cada uno de un grupo de $10$ niños es amigo de exactamente otros $7$ del mismo grupo (la amistad es mutua). Probar que no es posible dividirlos en tres equipos de tal manera que en cada uno de los tres equipos no haya un par de amigos.

Problema del dia (3 Sep)

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo e isósceles con $AC=AB$. Sean $O$ su circuncentro e $I$ su incentro. Si $D$ es el punto de intersección de $AC$ con la perpendicular a $CI$ que pasa por $O$, demuestra que $ID$ y $AB$ son paralelas.

Proximos Entrenamientos y Selectivos 1,2

Aparte de seguir entrenando DIARIO en el blog, los siguientes entrenamientos serán los sábados 4 y 11 de Septiembre de 9AM a 1PM, en Chihuahua coordinado por Isai y en Juárez coordinado por Omar.

ENTRENAMIENTO GENERAL Y SELECTIVOS:

El primer entrenamiento general se llevara a cabo en Ciudad Juárez en el Instituto de Ingeniería de la UACJ en el edificio G del Jueves 16 de Septiembre al Domingo 19 de Septiembre.

La llegada para todos seria el jueves 16 a las 4PM
Jueves 16 Sep: 4-9PM Entrenamiento
Viernes 17 de Sep: 9-2PM y 4-9PM Entrenamiento
Sabado 18 de Sep: 4-9PM Entrenamiento

Sabado 18 de Sep: 9-1:30PM Examen Selectivo #1
Domingo 19 de Sep: 9-1:30PM Examen Selectivo #2
Domingo 19 de Sep: 2PM Salida

Los encargados de los entrenamientos generales serán Héctor y David, el encargado de aplicar los exámenes sera Daniel; Ernesto les mandara cartas a todos para que las entreguen en sus escuelas. Quiero aclarar que no se justifican inasistencias de ningún tipo, especialmente para la gente de Juárez, el hecho de que el entrenamiento vaya a ser en Juárez, no implica que pueden llegar tarde o se pueden salir temprano para ir a clases de ballet o ir a una boda o whatever, si los muchachos de Chihuahua dejan todas sus actividades para estar concentrados esos días en la Olimpiada, es lo mismo que se espera de la gente de Juárez.

Cualquier pregunta en los comentarios.

Saludos

David

Problema del dia (Sep 2)

Encuentra todas las parejas de numeros enteros $(p,q)$ tales que la diferencia entre las dos soluciones de la ecuación $x^2+px+q=0$ sea 2010.

Me alegra la cantidad de respuesta que han recibido estos problemas, sigan asi o mejor. Tambien es buena idea que no solamente hagan los problemas que les ponemos en el blog, ahi tienen folletos con un monton de problemas y si quieren todavia mas problemas solamente avisen.

Problema del día (Sep 1)

Se tienen $11$ sacos colocados en círculo, cada uno con bolas numeradas en orden del 1 al 11. Se saca la bola $1$ del saco $1$, avanzas $1$, ahora del saco $2$, sacas la pelota con el menor número (el $2$) y avanzas $2$ bolsas, ahora del $4$, sacamos la pelota con el menor número (el $4$), ahora nos movemos $4$, sacamos la bola con el menor número del saco $8$, nos movemos $8$, y así en general, al llegar a un saco sacas la bola con el menor número que quede y procedes a avanzar ese número de veces. Siguiendo este proceso, ¿llegará algún momento en que la bola $2009$ es sacada? Si es así, en cuántos movimientos pasará?

Confirmación de correo.

Muchachos ganadores del estatal:

Se les acaba de enviar un correo de confirmación a las cuentas que registraron en sus cédulas de inscripción. El plan es que respondan precisamente ESE correo haciendo click en RESPONDER A TODOS para que a todos los destinatarios les llegue su confirmación. Hubo algunas cédulas de las cuales no pude comprender del todo la letra, por lo que es incierto que a todos les haya llegado el mensaje. Si no les llegó, por favor notifíquenmelo (dmartinez@ommch.org) con asunto FALLA DE CORREO y diciéndome su nombre.

Un saludo a todos, sigan participando en los problemas que se publiquen, hasta este momento han hecho muy buen trabajo. Felicidades!