Problema del Día. Geometría (15 de Octubre)

Dado $\triangle ABC$ isosceles con $\angle A=90 \degree $. El punto $D$ esta en el segmento $BC$ de tal manera que cumple $BD=2CD$. Sea $E$ el pie de la perpendicular del punto $B$ en la linea $AD$.

Encontrar $\angle CED$.

Problema del día. Algebra (14 de Octubre)

El número:
$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}}$
es un número que se puede escribir como $\frac{p}{q}$ con $p$ y $q$ enteros. Encuentra $p$ y $q$.

Problema del dia. Combinatoria (13 Octubre)

Se tienen $1985$ enteros positivos no necesariamente diferentes tales que ninguno tiene un factor primo mayor a $23$, Muestre que hay $4$ de ellos tales que su producto es la $4$º potencia de un numero entero

Problema del dia. Combinatoria (12 de Octubre)

Dentro de un pentágono de área 1993 se encuentran 995 puntos. Considere estos puntos junto con los vértices del pentágono.

Muestre que, de todos los triángulos que se pueden formar con los 1000 puntos anteriores como vértices, hay al menos uno de área menor o igual que 1.

Aviso sobre el trabajo en el blog

Les aviso que para el último selectivo las caritas felices valdrán $1.2$ y las C's valdrán $1$. Recuerden que una C puede cambiar a carita felíz, pero I y N no cambian.
Si completan una solución de algún problema que ya tiene rato, avisenle al entrenador que publicó el problema para que les revise. Esto es debido a que a veces no nos damos cuenta de que alguien comentó en problemas de hace mucho.

Resultados del Segundo Corte

Las siguientes personas pasarán al último selectivo en donde se definirá la delegación Chihuahua 2012:

(Resultados en orden)

Luis Enrique Chacón Ochoa	Prepa 20-30
Luis Carlos García Ramos	Prepa Tec
Antonio López Guzman	Leyes de Reforma
Arturo Arenas Esparza	EST #72
Alejandra Paola Ramírez Gónzalez	Prepa Central
Martin Contreras Carrera	Leyes de Reforma
Leonardo Isaac Gutiérrez Sierra	COBACH #19
José Nieves Flores Máynez	ESBIN
Ricardo García Ramírez	Prepa Tec
Diego Andrés Astiazarán Tobin	Prepa Tec
Alberto Sosa Borunda	EST #40

El entrenamiento general será del 19 al 22 de Octubre en Chihuahua, en el Tec de Monterrey campus Chihuahua.

¡Muchas felicidades a todos!

Problema del Día. Geometría (11 de octubre)

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo, $D$ el pie de la altura desde $A$, $H$ su ortocentro y $M$ el punto medio de $BC$. El circuncírculo de $\triangle BCH$ intersecta a $AM$ en $N$.
Demuestra:
a) $\angle ANH=90$
b) $BM^{2} = AM \cdot MN$

Problema del día, álgebra (10 de Octubre).

Sean $a$, $b$, $c$ reales diferentes de cero tales que $a+b+c=0$ y $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$. Demuestre que: \[a^2+b^2+c^2=\frac{6}{5}\].

Problema del día. Teoría de números. (9 de octubre)

Si se tiene que $a^n\equiv a \pmod n$ para toda $a$ entera, se dice que $n$ es un número de Carmichael cuando $n$ es compuesto. Muestre que $1,105$ es de Carmichael.

Problema del Día. Geometría (8 de Octubre)

Dos circunferencias se cortan en A y B. Una linea pasa por A intersecta a las circunferencias en C y D. Sean P y Q las proyecciones de B hacia las tangentes que pasan por C y D, respectivamente. Sea M la interseccion de PQ con CD.
Demostrar que MB es perpendicular a CD.

Problema del Día. Teoría de Números? (7 de Octubre)

En los vértices de un cubo están escritos $8$ enteros positivos distintos, uno en cada vértice, y en cada una de las aristas del cubo está escrito el máximo común divisor de los números que están en los $2$ vértices que forman la arista. Sean $A$ la suma de los números en las aristas y $V$ la suma de los números escritos en los vértices.
a) Muestra que:
\[\frac{2}{3} A \leq V \]
b) ¿Es posible que $$A=V$$?

Problema del día. Teoría de Números (7 de Octubre)

Determina el máximo común divisor de los números:
$3^3-3,5^5-5,7^7-7,\cdots,2011^{2011}-2011$
(Nota: Son los impares)

Problema del día. Combinatoria (6 de octubre)

En una reunión hay $9$ personas. Si yo agarro a $3$ personas al azar, puedo estar seguro que de esos $3$, $2$ no se conocen entre si. Demostrar que hay un grupo de $4$ personas que no se conocen entre si.

Problema del día. Combinatoria (5 de Octubre)

Resolver con inducción el siguiente problema:

Sea n un número entero mayor que 1. ¿De cuántas formas se pueden acomodar todos los números 1,2,…,2n en las casillas de una cuadrícula de 2×n, uno en cada casilla, de manera que cualesquiera dos números consecutivos se encuentren en casillas que comparten un lado de la cuadrícula?

Problema del Día. Geometría (4 de Octubre)

Sea $\triangle ABC$ un triángulo donde $D$ sea el punto medio de $BC$, y $M$ el punto medio de $AD$. La línea $BM$ intersecta al lado $AC$ en $N$. Demuestra que $AB$ es tangente al circuncírculo del triángulo $\triangle NBC$ si y solo si se cumple la siguiente igualdadad: \[ \frac{BM}{MN}= \frac{BC^2}{BN^2} . \]

Trabajo en el Blog. Previo al segundo entrenamiento.

En la siguiente liga encontraran el trabajo en el blog resumido hasta ahora. Revisen si sus problemas estan bien capturados. A lo largo de estos días se terminará de revisar, recuerden presionar a sus entrenadores para que les revisen en dado caso de faltarles revisión.

Trabajo en el blog

Excelente trabajo de la mayoría. A los que no han trabajado como deberían no se sorprendan si no les va bien en el siguiente corte (ustedes mismos saben a quienes me refiero).

Recuerden que del viernes 5, al lunes 8 es el siguiente entrenamiento general. El viernes es solo en la tarde, el lunes es solo en la mañana.

El horario de la mañana es de 9 a 2, en la tarde va a ser de 4 a 9.

Problema del día, álgebra (3 de Octubre).

Si $a$, $b$ y $c$ son las longitudes de los lados de un triángulo de área $(ABC)$, demostrar que \[4\sqrt 3(ABC)\leq a^2+b^2+c^2\].

Problema del día. Teoría de números. (2 de octubre)

Muestra que si $(n-1)!\equiv-1\pmod n$ entonces $n$ es primo.

Problema del día. Geometría (1 de Octubre)

(Cambie el problema de hoy, perdon si alguien ya lo había empezado a intentar.) Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo, con $AC \neq BC$ y sea $O$ su circuncentro. Sean $P$ y $Q$ puntos tales que $BOAP$ y $COPQ$ son paralelogramos. Muestra que $Q$ es el ortocentro de $\triangle ABC$.

Problema del Día. Teoría de Números (30 de Septiembre)

Demuestre que si $p$ y $q$ son números primos tales que:
\[ \frac{p^2+q^2}{p+q}\]
es un entero, entonces $p=q$.

Problema del día. Algebra (30 de septiembre)

Prueba que para cada entero positivo $n$ existe un número de $n$ dígitos múltiplo de $5^n$ y compuesto únicamente de dígitos impares.

Problema del dia, Combinatoria (29 de septiembre)

Se dan 101 rectángulos de lados enteros menores o iguales a 100. Por demostrar que hay tres rectángulos A, B y C que cumplen que A cabe dentro de B y B cabe dentro de C.

Problema del día. Combinatoria (28 de Septiembre)

En una Olimpiada de Matemáticas los concursantes están ocupando todos los asientos de un salón rectangular donde los asientos están alineados en filas y columnas de tal manera que hay más de dos filas y en cada fila hay más de dos asientos. Al inicio del examen un profesor les sugiere que se deseen suerte dándose la mano; cada uno de los concursantes estrecha la mano de los concursantes que están junto a él (adelante, atrás, a los lados y en diagonal) y sólo a éstos. Alguien observa que se dieron 1020 apretones de manos ¿Cuántos concursantes hay?

Problema del Día. Geometría (27 de Septiembre) - 2

(Otro problema adicional para el dia de hoy)

Sea ABC un triangulo isosceles con AB=AC. Sea I el incentro. Se sabe que BC=AB+AI. Sea D un punto en el rayo BA tal que AD=AI (A, quedaria entre los puntos B y D).

Demostrar que DAIC es ciclico y encontrar el valor del angulo $\angle ABC$

Problema del Día. Geometría (27 de Septiembre)

Los triangulos OAB, OBC, OCD son isosceles con los angulos $\angle OAB=\angle OBC=\angle OCD =90\degree$.
Encontrar el area del triangulo $\triangle OAB$ si $(OCD)=12$

Problema del día, álgebra (26 de Septiembre).

Una función $f$ está definida para todos los enteros positivos y satisface $f(1)=2006$ y $f(1)+f(2)+...+f(n)=n^2f(n)$ para todo entero $n>1$. Encuentra el valor de $f(2006)$.

Problema del día. Teoría de números (25 de septiembre)

¿Para qué naturales $n$ la suma de los divisores de $10^{n}$ es múltiplo de 9?

Problema del Día. Geometría (24 de Septiembre)

Dado un triangulo acutangulo ABC, se toman puntos D,E,F sobre los lados a,b,c respectivamente. Demostrar que los circuncirculos de AEF, CDE, BDF tienen un punto en comun.

Problema del Día. Teoría de Números (23 de Septiembre)

Sea $n$ un entero positivo tal que $2^n+2$ es múltiplo de $n$ y $2^n+1$ es múltiplo de $n-1$. Pruebe que $2^{2^n+2}+2$ es múltiplo de $2^n+2$ y que $2^{2^n+2}+1$ es múltiplo de $2^n+1$.

Aviso, hubo un error en la redaccion original, apenas me di cuenta hoy (27 de septiembre), se reinicia el conteo de los tres dias.

Problema del día. Algebra (23 de septiembre)

Determina todas las parejas de enteros positivos $(a,b)$ tales que $a-b$ es un número primo y $ab$ es un cuadrado perfecto.