Aviso Problema del Día

El problema del día se va a reiniciar el Martes 4 de Diciembre, que es  un poco despues de cuando regresan nuestros seleccionados de los entrenamientos nacionales, mientras tanto estoy buscando voluntarios para la temporada de invierno del problema del día, enfocada a IMO y Centro.

Estaba pensando cambiar la dinámica para que además sea problema del día poner a lo mejor tema del día, con un breve teorema o tip.

Los interesados en ayudar pongan en un comentario el área(s) en la(s) que quieren ayudar (Algebra, Números, Geometría, Combinatoria).

Aviso acerca del Problema del Día

Debido a los intensivos y al nacional, el problema del día se pone en pausa. Estos días deberán dedicarse completamente a los intensivos, y a resolver los problemas faltantes de días anteriores.

Se reiniciará el problema del día despues del nacional, enfocándonos en las personas que logren quedar preseleccionadas para algun concurso internacional (IMC/IWYMIC, Centro, Ibero, IMO, AMC/AIME, etc).

Problema del Día. Geometría (1 de Noviembre)

Sea $H$ el ortocentro del $\triangle ABC$. Los pies de las perpendiculares desde H a las bisectrices interna y externa de $\angle A$ son $P$ y $Q$ respectivamente. Prueba que $P$ esta sobre la línea que pasa por $Q$ y el punto medio de $BC$.

Problema del dia. Teoria de numeros (1 de Noviembre)

Se obtienen numeros de la siguiente manera. Una persona escoge $x$ enteros positivos tales que la suma de todos ellos sea 52. Luego, multiplicamos esos $x$ numeros. Cual es el numero mas grande que se puede obtener con esta operacion?

Problema del dia. Combinatoria (1 de Noviembre)

Se tienen $n$ pesas y una balanza. Todas se ven iguales pero hay una que no pesa lo mismo que las demas. Solo podemos usar la balanza 4 veces maximo y queremos saber cual es la pesa diferente. Cual es el valor maximo que $n$ puede tener para que logremos lo que queremos?

Problema del día. Geometría (31 de Octubre)

1.Sea $ABCD$ un rectángulo. Sobre el lado $AB$ se toma un punto $P$
tal que $AP = AD$, y sobre el lado $AD$ se toma un punto $Q$ tal que $AQ = AB$.
Si $BD = 6$, ¿cual es el área  del cuadrilátero  $APCQ$?

2.Sea $ABC$ un triangulo con $\angle ACB = 2\angle CAB$ y $\angle ABC > 90$.La perpendicular a $AB$ que pasa por $A$ intersecta a $BC$ en $D$. Demuestra que:
$\frac{1}{BC} -\frac{1}{DC}=\frac{2}{CA}$

Problema del día. Combinatoria (31 de Octubre)

En una mesa hay 2012 fichas. A y B van a jugar a quitar fichas de la mesa.En cada turno se vale quitar 2,5 ó 6 fichas.Pierde quien ya no pueda hacer una jugada.Determina quien tiene estrategia ganadora.

Problema del Día. Algebra (30 de Octubre)

Los números reales positivos $x, y, z$ son tales que:

$$x+\frac{y}{z}=y+\frac{z}{x}=z+\frac{x}{y}=2$$
Determina todos los valores posibles de $x+y+z$

Problema del Día. Teoría de números (30 de Octubre)

Aplicar un desliz a un entero $n \geq 2$ significa tomar cualquier primo $p$ que divida a $n$ y reemplazar $n$ por $\frac{n+p^{2}}{p}$

Se comienza con un entero cualquiera mayor o igual que $5$ y se le aplica un desliz. Al número así obtenido de le aplica un desliz, y así sucesivamente se siguen aplicando deslices. Demuestra que sin importar los deslices aplicados, en algún momento se obtiene el número $5$

Problema del Día. Algebra (29 de Octubre)

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2=3$. Muestre que
$$\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca} \geq \frac{3}{2}$$

Problema del día. Teoría de números (29 de octubre)

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que: $2(10^n)+25$ sea un cuadrado perfecto

Problema del día. Geometría (29 octubre)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia de diámetro $AD$,sea $P$ el punto de intersección de $AB$ y $CD$, y $Q$ el punto de interseccion de $AC$ y $BD$. Sea $O$ el punto de interseccion de las tangentes a la circunferencia por $B$ y $C$. Muestre que $O$,$P$ $Q$ son colineales.

Problemas del dia. Geometría (28 de octubre)

1.- Sea $ABCD$ un trapecio con $AD \parallel BC$. Si se sabe que $AB=AD+BC$, demuestra que la bisectriz de $\angle BAD$ intersecta a $CD$ en su punto medio.

2.- Dos circunferencias son tangentes externamente en $B$. Una tangente a una de las circunferencias por $A$ intersecta a la otra circunferencia en $C$ y $D$. Muestra que $A$ es equidistante a las rectas $BC$ y $BD$.

3.- Sea $I$ el incentro de $\triangle ABC$. Sean $D$, $E$ y $F$ las reflexiones de $I$ sobre los lados $BC$, $AC$ y $AB$ respectivamente. Si se tiene que $DEFB$ es un cuadrilatero cíclico, encuentra todos los posibles valores de $\angle ABC$


(Si, 3, aunque ya sean 6 problemas hoy, casi no pidieron publicar problemas de geometría y les hace falta para el nacional)

Problema del día. Combinatoria (28 de octubre)

Se tienen 2009 puntos en el plano. Dos jugadores A y B juegan a trazar líneas entre los puntos por turnos. Empieza A. Gana el primero que completa un ciclo. ¿Cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora?

Problema del día. Álgebra (28 de octubre)

Para cada entero positivo $n$ denotamos por $a(n)$ al producto de los dígitos de $n$.
a) Demostrar que $a(n)\leq n$.
b) Determinar todas las soluciones de la ecuación $n^2-17n+56=a(n)$.

Problema del día. Combinatoria (28 de Octubre)

Un número triangular es un número de la forma $\frac{n(n+1)}{2}$ para algún entero positivo $n$. Demuestra que entre cualesquiera 32 números triangulares menores que 2012 hay dos cuya suma es un cuadrado.

Problema del Día. Nueva dinámica.

A partir de mañana viernes, adicional a lo que suban los entrenadores, los 6 seleccionados tendrán que subir problemas también.

Cada quien escogerá 2 problemas de diferentes áreas, que crean que son interesantes, y un día para publicar ambos problemas. Comentarán en este post el día que quieren publicar y las dos áreas, traten de distribuir uniformemente las áreas, y de que los días no se repitan. En cuanto comenten sus áreas y el día, les daré permisos para publicar.

Ustedes se encargarán de revisar los problemas que suban.

Delegación Chihuahua 2012!

Finalmente y después de largas horas de trabajo y espera ya tenemos a la delegación que representará a Chihuahua en la Olimpiada Nacional de Matemáticas!!!!

CHIH 1	Arturo Arenas Esparza	EST #72
CHIH 2	Luis Enrique Chacón Ochoa	Preparatoria 20-30
CHIH 3	José Nieves Flores Máynez	ESBIN
CHIH 4	Luis Carlos García Ramos	Prepa Tec
CHIH 5	Antonio López Guzman	Leyes de Reforma
CHIH 6	Alejandra Paola Ramírez González	Preparatoria Central
Suplente 1	Diego Andrés Astiazarán Tobin	Prepa Tec
Suplente 2	Martin Contreras Carrera	Leyes de Reforma

 El orden es estrictamente alfabético y no necesariamente representa las puntuaciones obtenidas en los selectivos.

A seguir trabajando duro muchachos muchas felicidades a todos!!! 

*Recuerden que los suplentes debe seguir asistiendo a los entrenamientos.  

Problema del día, álgebra (24 de Octubre).

Sea $n$ un número entero positivo mayor que 1. Encuentra todas las parejas de enteros $(s,t)$ tal que las ecuaciones $$x^n+sx-2007=0$$ $$x^n+tx-2008=0$$ tienen al menos una raíz real en común.

Problema del Día. Teoría de Números (21 de Octubre)

Demuestra que no existen enteros $p,q,k$ con $p,q$ primos, tales que $p-q=2$ y $pq+10^k$ sea un número primo.

Problema del día. Algebra (21 de Octubre)

Sean $a$, $b$ y $c$ enteros positivos que cumplen las siguientes tres condiciones:
1) $a$ es impar.
2)  el máximo común divisor de $a$, $b$ y $c$es 1:
3) $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$.
Prueba que el producto $abc$ es un cuadrado perfecto.

Problema del dia. Combinatoria (20 de Octubre)

sean $a_1, \cdots , a_{10}$ diez números enteros. por demostrar que existen numeros $b_1 \cdots b_{10}$ números tales que solo pueden valer $\{ -1, 0, 1 \}$, no necesariamente todas iguales a $0$, tales que $\sum_{i=1}^{10} b_i a_i$ es divisible entre $1001$

Problema del día. Teoría de Números (16 de Octubre)

Sean $a$ y $b$ enteros. Demostrar que la ecuacion $$(x-a)(x-b)(x-3)+1=0$$ admite a lo más una solución entera para $x$.

Problema del dia. Combinatoria (19 de Octubre)

Hay seis maneras en las que una persona se puede poner los zapatos y calcetines, por ejemplo, calcetín
izquierdo, calcetín derecho, zapato izquierdo, zapato derecho. ¿De cuántas maneras puede un ciempiés ponerse sus zapatos y calcetines? Suponiendo que el ciempiés tiene efectivamente 100 pies y diferentes nombres para todos ellos.

Problema del Día. Geometría (18 de octubre)

Un punto $P$ esta dado dentro del cuadrado $ABCD$ tal que $PA=3$, $PB=7$ y $PD=5$. Encuentra el área del cuadrado.

Problema del día, álgebra (17 de Octubre).

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo de manera que los triángulos $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$ y $EAB$ son todos de igual área. Demuestre que $$\frac{1}{4}(ABCDE)<(ABC)< \frac{1}{3}(ABCDE)$$ .

Entrenamiento General - Etapa 3

Aviso URGENTE:

Por motivos de logistica y recursos, el viaje que estaba planeado de los participantes de Cd. Juárez a Chihuahua este próximo fin de semana con motivo del tercer entrenamiento general y los exámenes selectivos, se CANCELA. 

Esto no significa que no se vayan a aplicar los examenes, la agenda seguira de la misma manera solo que en este caso entrenamos en IIT los de Juárez y en el Tec los de Chihuahua-Delicias. La agenda sigue siendo la misma con examen selectivo el domingo y el lunes, entrenamientos viernes, sábado y domingo.

Esperando avisen a sus respectivas escuelas, para evitar se gestionen estos recursos, los esperamos el viernes en el edificio G como todas las semanas. 

Disculpen las molestias o problemas que esto pudiera llegar a ocasionar, sin embargo fueron situaciones totalmente ajenas al comité.

Saludos.

Atentamente.

Neto.

Problema del Día. Teoría de Números (14 de Octubre)

Sea $p$ un número primo mayor que $2$. Si
$$1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{p-1} = \frac{a}{b}$$
Demuestra que $a$ es múltiplo de $p$.

Problema del Día. Geometría (15 de Octubre)

Dado $\triangle ABC$ isosceles con $\angle A=90 \degree$. El punto $D$ esta en el segmento $BC$ de tal manera que cumple $BD=2CD$. Sea $E$ el pie de la perpendicular del punto $B$ en la linea $AD$.

Encontrar $\angle CED$.

Problema del día. Algebra (14 de Octubre)

El número:
$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}}$
es un número que se puede escribir como $\frac{p}{q}$ con $p$ y $q$ enteros. Encuentra $p$ y $q$.