Problema del día. Geometría (31 de Octubre)

1.Sea $ABCD$ un rectángulo. Sobre el lado $AB$ se toma un punto $P$
tal que $AP = AD$, y sobre el lado $AD$ se toma un punto $Q$ tal que $AQ = AB$.
Si $BD = 6$, ¿cual es el área  del cuadrilátero  $APCQ$?

2.Sea $ABC$ un triangulo con $\angle ACB = 2\angle CAB$ y $\angle ABC > 90$.La perpendicular a $AB$ que pasa por $A$ intersecta a $BC$ en $D$. Demuestra que:
$\frac{1}{BC} -\frac{1}{DC}=\frac{2}{CA}$

Problema del día. Combinatoria (31 de Octubre)

En una mesa hay 2012 fichas. A y B van a jugar a quitar fichas de la mesa.En cada turno se vale quitar 2,5 ó 6 fichas.Pierde quien ya no pueda hacer una jugada.Determina quien tiene estrategia ganadora.

Problema del Día. Algebra (30 de Octubre)

Los números reales positivos $x, y, z$ son tales que:

\[x+\frac{y}{z}=y+\frac{z}{x}=z+\frac{x}{y}=2\]
Determina todos los valores posibles de $x+y+z$

Problema del Día. Teoría de números (30 de Octubre)

Aplicar un desliz a un entero $n \geq 2$ significa tomar cualquier primo $p$ que divida a $n$ y reemplazar $n$ por $\frac{n+p^{2}}{p}$

Se comienza con un entero cualquiera mayor o igual que $5$ y se le aplica un desliz. Al número así obtenido de le aplica un desliz, y así sucesivamente se siguen aplicando deslices. Demuestra que sin importar los deslices aplicados, en algún momento se obtiene el número $5$

Problema del Día. Algebra (29 de Octubre)

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2=3$. Muestre que
\[\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca} \geq \frac{3}{2} \]

Problema del día. Teoría de números (29 de octubre)

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que: $2(10^n)+25$ sea un cuadrado perfecto

Problema del día. Geometría (29 octubre)

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia de diámetro $AD$,sea $P$ el punto de intersección de $AB$ y $CD$, y $Q$ el punto de interseccion de $AC$ y $BD$. Sea $O$ el punto de interseccion de las tangentes a la circunferencia por $B$ y $C$. Muestre que $O$,$P$ $Q$ son colineales.

Problemas del dia. Geometría (28 de octubre)

1.- Sea $ABCD$ un trapecio con $AD \parallel BC$. Si se sabe que $AB=AD+BC$, demuestra que la bisectriz de $\angle BAD$ intersecta a $CD$ en su punto medio.

2.- Dos circunferencias son tangentes externamente en $B$. Una tangente a una de las circunferencias por $A$ intersecta a la otra circunferencia en $C$ y $D$. Muestra que $A$ es equidistante a las rectas $BC$ y $BD$.

3.- Sea $I$ el incentro de $\triangle ABC$. Sean $D$, $E$ y $F$ las reflexiones de $I$ sobre los lados $BC$, $AC$ y $AB$ respectivamente. Si se tiene que $DEFB$ es un cuadrilatero cíclico, encuentra todos los posibles valores de $\angle ABC$


(Si, 3, aunque ya sean 6 problemas hoy, casi no pidieron publicar problemas de geometría y les hace falta para el nacional)

Problema del día. Combinatoria (28 de octubre)

Se tienen 2009 puntos en el plano. Dos jugadores A y B juegan a trazar líneas entre los puntos por turnos. Empieza A. Gana el primero que completa un ciclo. ¿Cuál de los dos jugadores tiene estrategia ganadora?

Problema del día. Álgebra (28 de octubre)

Para cada entero positivo $n$ denotamos por $a(n)$ al producto de los dígitos de $n$.
a) Demostrar que $a(n)\leq n$.
b) Determinar todas las soluciones de la ecuación $n^2-17n+56=a(n)$.

Problema del día. Combinatoria (28 de Octubre)

Un número triangular es un número de la forma $\frac{n(n+1)}{2}$ para algún entero positivo $n$. Demuestra que entre cualesquiera 32 números triangulares menores que 2012 hay dos cuya suma es un cuadrado.

Problema del Día. Nueva dinámica.

A partir de mañana viernes, adicional a lo que suban los entrenadores, los 6 seleccionados tendrán que subir problemas también.

Cada quien escogerá 2 problemas de diferentes áreas, que crean que son interesantes, y un día para publicar ambos problemas. Comentarán en este post el día que quieren publicar y las dos áreas, traten de distribuir uniformemente las áreas, y de que los días no se repitan. En cuanto comenten sus áreas y el día, les daré permisos para publicar.

Ustedes se encargarán de revisar los problemas que suban.

Delegación Chihuahua 2012!

Finalmente y después de largas horas de trabajo y espera ya tenemos a la delegación que representará a Chihuahua en la Olimpiada Nacional de Matemáticas!!!!

CHIH 1	Arturo Arenas Esparza	EST #72
CHIH 2	Luis Enrique Chacón Ochoa	Preparatoria 20-30
CHIH 3	José Nieves Flores Máynez	ESBIN
CHIH 4	Luis Carlos García Ramos	Prepa Tec
CHIH 5	Antonio López Guzman	Leyes de Reforma
CHIH 6	Alejandra Paola Ramírez González	Preparatoria Central
Suplente 1	Diego Andrés Astiazarán Tobin	Prepa Tec
Suplente 2	Martin Contreras Carrera	Leyes de Reforma

 El orden es estrictamente alfabético y no necesariamente representa las puntuaciones obtenidas en los selectivos.

A seguir trabajando duro muchachos muchas felicidades a todos!!! 

*Recuerden que los suplentes debe seguir asistiendo a los entrenamientos.  

Problema del día, álgebra (24 de Octubre).

Sea $n$ un número entero positivo mayor que 1. Encuentra todas las parejas de enteros $(s,t)$ tal que las ecuaciones \[x^n+sx-2007=0\]\[x^n+tx-2008=0\] tienen al menos una raíz real en común.

Problema del Día. Teoría de Números (21 de Octubre)

Demuestra que no existen enteros $p,q,k$ con $p,q$ primos, tales que $p-q=2$ y $pq+10^k$ sea un número primo.

Problema del día. Algebra (21 de Octubre)

Sean $a$, $b$ y $c$ enteros positivos que cumplen las siguientes tres condiciones:
1) $a$ es impar.
2)  el máximo común divisor de $a$, $b$ y $c$es 1:
3) $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$.
Prueba que el producto $abc$ es un cuadrado perfecto.

Problema del dia. Combinatoria (20 de Octubre)

sean $a_1, \cdots , a_{10}$ diez números enteros. por demostrar que existen numeros $b_1 \cdots b_{10}$ números tales que solo pueden valer $\{ -1, 0, 1 \}$, no necesariamente todas iguales a $0$, tales que $ \sum_{i=1}^{10} b_i a_i$ es divisible entre $ 1001 $

Problema del día. Teoría de Números (16 de Octubre)

Sean $a$ y $b$ enteros. Demostrar que la ecuacion $$(x-a)(x-b)(x-3)+1=0$$ admite a lo más una solución entera para $x$.

Problema del dia. Combinatoria (19 de Octubre)

Hay seis maneras en las que una persona se puede poner los zapatos y calcetines, por ejemplo, calcetín
izquierdo, calcetín derecho, zapato izquierdo, zapato derecho. ¿De cuántas maneras puede un ciempiés ponerse sus zapatos y calcetines? Suponiendo que el ciempiés tiene efectivamente 100 pies y diferentes nombres para todos ellos.

Problema del Día. Geometría (18 de octubre)

Un punto $P$ esta dado dentro del cuadrado $ABCD$ tal que $PA=3$, $PB=7$ y $PD=5$. Encuentra el área del cuadrado.

Problema del día, álgebra (17 de Octubre).

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo de manera que los triángulos $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$ y $EAB$ son todos de igual área. Demuestre que \[\frac{1}{4}(ABCDE)<(ABC)< \frac{1}{3}(ABCDE)\].

Entrenamiento General - Etapa 3

Aviso URGENTE:

Por motivos de logistica y recursos, el viaje que estaba planeado de los participantes de Cd. Juárez a Chihuahua este próximo fin de semana con motivo del tercer entrenamiento general y los exámenes selectivos, se CANCELA. 

Esto no significa que no se vayan a aplicar los examenes, la agenda seguira de la misma manera solo que en este caso entrenamos en IIT los de Juárez y en el Tec los de Chihuahua-Delicias. La agenda sigue siendo la misma con examen selectivo el domingo y el lunes, entrenamientos viernes, sábado y domingo.

Esperando avisen a sus respectivas escuelas, para evitar se gestionen estos recursos, los esperamos el viernes en el edificio G como todas las semanas. 

Disculpen las molestias o problemas que esto pudiera llegar a ocasionar, sin embargo fueron situaciones totalmente ajenas al comité.

Saludos.

Atentamente.

Neto.

Problema del Día. Teoría de Números (14 de Octubre)

Sea $p$ un número primo mayor que $2$. Si
\[ 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{p-1} = \frac{a}{b} \]
Demuestra que $a$ es múltiplo de $p$.

Problema del Día. Geometría (15 de Octubre)

Dado $\triangle ABC$ isosceles con $\angle A=90 \degree $. El punto $D$ esta en el segmento $BC$ de tal manera que cumple $BD=2CD$. Sea $E$ el pie de la perpendicular del punto $B$ en la linea $AD$.

Encontrar $\angle CED$.

Problema del día. Algebra (14 de Octubre)

El número:
$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}}$
es un número que se puede escribir como $\frac{p}{q}$ con $p$ y $q$ enteros. Encuentra $p$ y $q$.

Problema del dia. Combinatoria (13 Octubre)

Se tienen $1985$ enteros positivos no necesariamente diferentes tales que ninguno tiene un factor primo mayor a $23$, Muestre que hay $4$ de ellos tales que su producto es la $4$º potencia de un numero entero

Problema del dia. Combinatoria (12 de Octubre)

Dentro de un pentágono de área 1993 se encuentran 995 puntos. Considere estos puntos junto con los vértices del pentágono.

Muestre que, de todos los triángulos que se pueden formar con los 1000 puntos anteriores como vértices, hay al menos uno de área menor o igual que 1.

Aviso sobre el trabajo en el blog

Les aviso que para el último selectivo las caritas felices valdrán $1.2$ y las C's valdrán $1$. Recuerden que una C puede cambiar a carita felíz, pero I y N no cambian.
Si completan una solución de algún problema que ya tiene rato, avisenle al entrenador que publicó el problema para que les revise. Esto es debido a que a veces no nos damos cuenta de que alguien comentó en problemas de hace mucho.

Resultados del Segundo Corte

Las siguientes personas pasarán al último selectivo en donde se definirá la delegación Chihuahua 2012:

(Resultados en orden)

Luis Enrique Chacón Ochoa	Prepa 20-30
Luis Carlos García Ramos	Prepa Tec
Antonio López Guzman	Leyes de Reforma
Arturo Arenas Esparza	EST #72
Alejandra Paola Ramírez Gónzalez	Prepa Central
Martin Contreras Carrera	Leyes de Reforma
Leonardo Isaac Gutiérrez Sierra	COBACH #19
José Nieves Flores Máynez	ESBIN
Ricardo García Ramírez	Prepa Tec
Diego Andrés Astiazarán Tobin	Prepa Tec
Alberto Sosa Borunda	EST #40

El entrenamiento general será del 19 al 22 de Octubre en Chihuahua, en el Tec de Monterrey campus Chihuahua.

¡Muchas felicidades a todos!

Problema del Día. Geometría (11 de octubre)

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo, $D$ el pie de la altura desde $A$, $H$ su ortocentro y $M$ el punto medio de $BC$. El circuncírculo de $\triangle BCH$ intersecta a $AM$ en $N$.
Demuestra:
a) $\angle ANH=90$
b) $BM^{2} = AM \cdot MN$

Problema del día, álgebra (10 de Octubre).

Sean $a$, $b$, $c$ reales diferentes de cero tales que $a+b+c=0$ y $a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5$. Demuestre que: \[a^2+b^2+c^2=\frac{6}{5}\].

Problema del día. Teoría de números. (9 de octubre)

Si se tiene que $a^n\equiv a \pmod n$ para toda $a$ entera, se dice que $n$ es un número de Carmichael cuando $n$ es compuesto. Muestre que $1,105$ es de Carmichael.

Problema del Día. Geometría (8 de Octubre)

Dos circunferencias se cortan en A y B. Una linea pasa por A intersecta a las circunferencias en C y D. Sean P y Q las proyecciones de B hacia las tangentes que pasan por C y D, respectivamente. Sea M la interseccion de PQ con CD.
Demostrar que MB es perpendicular a CD.

Problema del Día. Teoría de Números? (7 de Octubre)

En los vértices de un cubo están escritos $8$ enteros positivos distintos, uno en cada vértice, y en cada una de las aristas del cubo está escrito el máximo común divisor de los números que están en los $2$ vértices que forman la arista. Sean $A$ la suma de los números en las aristas y $V$ la suma de los números escritos en los vértices.
a) Muestra que:
\[\frac{2}{3} A \leq V \]
b) ¿Es posible que $$A=V$$?

Problema del día. Teoría de Números (7 de Octubre)

Determina el máximo común divisor de los números:
$3^3-3,5^5-5,7^7-7,\cdots,2011^{2011}-2011$
(Nota: Son los impares)

Problema del día. Combinatoria (6 de octubre)

En una reunión hay $9$ personas. Si yo agarro a $3$ personas al azar, puedo estar seguro que de esos $3$, $2$ no se conocen entre si. Demostrar que hay un grupo de $4$ personas que no se conocen entre si.

Problema del día. Combinatoria (5 de Octubre)

Resolver con inducción el siguiente problema:

Sea n un número entero mayor que 1. ¿De cuántas formas se pueden acomodar todos los números 1,2,…,2n en las casillas de una cuadrícula de 2×n, uno en cada casilla, de manera que cualesquiera dos números consecutivos se encuentren en casillas que comparten un lado de la cuadrícula?

Problema del Día. Geometría (4 de Octubre)

Sea $\triangle ABC$ un triángulo donde $D$ sea el punto medio de $BC$, y $M$ el punto medio de $AD$. La línea $BM$ intersecta al lado $AC$ en $N$. Demuestra que $AB$ es tangente al circuncírculo del triángulo $\triangle NBC$ si y solo si se cumple la siguiente igualdadad: \[ \frac{BM}{MN}= \frac{BC^2}{BN^2} . \]

Trabajo en el Blog. Previo al segundo entrenamiento.

En la siguiente liga encontraran el trabajo en el blog resumido hasta ahora. Revisen si sus problemas estan bien capturados. A lo largo de estos días se terminará de revisar, recuerden presionar a sus entrenadores para que les revisen en dado caso de faltarles revisión.

Trabajo en el blog

Excelente trabajo de la mayoría. A los que no han trabajado como deberían no se sorprendan si no les va bien en el siguiente corte (ustedes mismos saben a quienes me refiero).

Recuerden que del viernes 5, al lunes 8 es el siguiente entrenamiento general. El viernes es solo en la tarde, el lunes es solo en la mañana.

El horario de la mañana es de 9 a 2, en la tarde va a ser de 4 a 9.

Problema del día, álgebra (3 de Octubre).

Si $a$, $b$ y $c$ son las longitudes de los lados de un triángulo de área $(ABC)$, demostrar que \[4\sqrt 3(ABC)\leq a^2+b^2+c^2\].

Problema del día. Teoría de números. (2 de octubre)

Muestra que si $(n-1)!\equiv-1\pmod n$ entonces $n$ es primo.

Problema del día. Geometría (1 de Octubre)

(Cambie el problema de hoy, perdon si alguien ya lo había empezado a intentar.) Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo, con $AC \neq BC$ y sea $O$ su circuncentro. Sean $P$ y $Q$ puntos tales que $BOAP$ y $COPQ$ son paralelogramos. Muestra que $Q$ es el ortocentro de $\triangle ABC$.